專題15最短路徑問題
模型一. 兩點之間，線段最短
模型二. “將軍飲馬”
模型三. 雙動點
模型四. 垂線段最短
【例1】（2019·河南南陽一模）如圖，已知一次函數(shù)y=
x+2的圖象與x軸、y軸交于點A、C，與反比例函數(shù)y=
的圖象在第一象限內交于點P，過點P作PB⊥x軸，垂足為B，且△ABP的面積為9.
（1）點A的坐標為 ，點C的坐標為 ，點P的坐標為 ；
（2）已知點Q在反比例函數(shù)y=
的圖象上，其橫坐標為6，在x軸上確定一點M，是的△PQM的周長最小，求出點M的坐標.
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求得A、C坐標，由S△ABP=
·AB·BP=9，設P點坐標為（m，
m+2），代入得到點P坐標；（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得Q點坐標，作Q點（或P點）關于x軸的對稱點Q’（P’），連接PQ’（QP’）與x軸的交點即為點M，用待定系數(shù)法求出直線PQ’（QP’的解析式）.
【解析】解：（1）在y=
x+2中，當x=0時，y=2；y=0時，x=－4，
∴A點坐標為（－4,0），C點坐標為（0,2），
設P點坐標為（m，
m+2），m>0，
則AB=m+4，BP=
m+2,
∵S△ABP=
·AB·BP=9，
即
×（m+4）（
m+2）=9，
解得：m=2或m=－10（舍），
∴點P的坐標為（2,3）；
（2）如圖，作點Q關于x軸的對稱點Q’，連接PQ’交x軸于點M，此時，△PQM的周長最小，
由（1）知，P(2,3)在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=6，
點Q的坐標為（6,1），點Q’的坐標為（6，－1），
設直線PQ’的解析式為：y=mx+b，
得：
，
解得：
，
即直線PQ’的解析式為：y=－x+5，
當y=0時，x=5，即M點坐標為（5,0），
∴當△PQM的周長最小時，M點坐標為（5,0）.
【變式1-1】（2017·新野一模）已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0），C三點．直線y=mx+
交拋物線于A，Q兩點，點P是拋物線上直線AQ上方的一個動點，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，當點P運動到什么位置時，線段PN=2NF，求出此時點P的坐標；
（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，點M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最??？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析．
【解析】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0），
∴
，
解得a=﹣1，b=1，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．
（2）直線y=mx+
交拋物線與A、Q兩點，
將A（﹣1，0）代入得：m=
，
∴直線AQ的解析式為y=
x+
．
設點P的橫坐標為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n，
n+
），F（n，0），
∴PN=﹣n2+n+2﹣（
n+
）
=﹣n2+
n+
，
NF=
n+
，
∵PN=2NF，即﹣n2+
n+
=2×（
n+
），
解得：n=﹣1或
．
當n=﹣1時，點P與點A重合，舍去．
故點P的坐標為（
，
）．
（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣
）2+
，
∴M（
，
）．
∵A、C關于直線DE對稱，
∴連接AM交直線DE與點G，連接CG、CM，此時，△CMG的周長最小，
設直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將A（﹣1，0），M（
，
）代入并解得：
k=
，b=
，
∴直線AM的函數(shù)解析式為y=
x+
，
∵D為AC的中點，
∴D（﹣
，1）．
可得直線AC的解析式為：y=2x+2，直線DE的解析式為y=﹣
x+
．
將y=﹣
x+
與y=
x+
聯(lián)立，
解得：x=﹣
，y=
．
∴在直線DE上存在點G，使△CMG的周長最小，G（﹣
，
）．
【變式1-2】（2019·三門峽二模）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點D是射線OM上的動點，當點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，連接DE，設OD＝m．
（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△CDE的形狀是???????三角形．
（2）探究證明
如圖2，當6＜m＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．
圖1 ???????????????????????圖2
【答案】見解析．
【解析】解：（1）證明：
由旋轉性質，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等邊三角形；
故答案為：等邊；
（2）存在，當6＜t＜10時，
由旋轉的性質得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE
＝AB+DE
＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等邊三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂線段最短可知，當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，
此時，CD＝2
，
∴△BDE的周長最小值為：2
+4.
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