專題16 函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題中三角形存在性

模型一、等腰三角形存在性問題

以腰和底分類討論，借助勾股定理、相似性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行求解.

模型二、直角三角形存在性問題

以直角頂點(diǎn)不同分類討論，借助勾股定理、相似性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行求解.常見的模型為“一線三直角”.

【例1】（2019·鄭州外國(guó)語(yǔ)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²－x+c經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0),B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（包含點(diǎn)A、B）.作直線BC，若過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)Q.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）由題意，拋物線的解析式可表示為：y=a（x+1）（x－4），

將點(diǎn)（0，－2）代入上式，得：a=，

即拋物線的解析式為：y=x²－x－2；

（2）由y=x²－x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC=2,

由C(0,－2), B(4,0)得直線BC的解析式為：y=x－2，

設(shè)P（m，m²－m－2），則Q(m，m－2)，

過Q作QM⊥y軸于M，則QM∥AB，

∴,即，

∴CQ=,

PQ=－m²+2m, PC==m，

①當(dāng)CQ=PQ時(shí)，

=－m²+2m，解得：m=0（舍）或m=4－；

②當(dāng)CQ=PC時(shí)，

= m，解得：m=0（舍）或m=2或m=4（舍）；

③當(dāng)PQ=PC時(shí)，

－m²+2m= m，解得：m=0（舍）或m=；

綜上所述，存在點(diǎn)P，使△CPQ是等腰三角形，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：4－或2或.

【變式1－1】（2018·開封二模）如圖，拋物線L：y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B(3,0)，拋物線的對(duì)稱軸為x=1.

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得的拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)部（包含△OBC邊界），求h的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=－3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：由題意得：，解得：，

即拋物線的解析式為：y=－x²+2x+3.

（2）在y=－x²+2x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C(0,3),

由B(3,0)，C(0,3)得直線BC的解析式為：y=－x+3,

在y=－x²+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

在y=－x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

若將拋物線向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得的拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)部（包含△OBC邊界），則2≤h≤4.

（3）①當(dāng)P在x軸上方時(shí)，

過點(diǎn)P作PD⊥l于M，PN⊥x軸于N，由△PBQ為等腰直角三角形可知，△PBN≌△PQM，

則PN=MQ，

設(shè)P（m，y），則PN=PM=y，而PM=m+3，

∴y=m+3，

－m²+2m+3=?m+3，解得：m=0或m=1，

即P(0,3)或（1,4）；

②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得：

－m²+2m+3=－m－3，解得：m=或m=，

即P(，)或(，)，

綜上所述，△PBQ能成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0,3)或（1,4）或(，)或(，).

【例2】（2019·省實(shí)驗(yàn)四模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)，B(4,0),C(0,2)三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M.

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x－4），

將點(diǎn)C(0,2)代入上式得：a=，

即拋物線的解析式為：y=（x+1）（x－4）=x²+x+2.

（2）存在；由題意知，∠QMB≠90°，分兩種情況討論：

①當(dāng)∠MQB=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合于點(diǎn)A，即Q(－1,0)；

②當(dāng)∠QBM=90°時(shí)，△BPQ∽△MPB，

∴BP²=PM·PQ，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D(－2,0)，

由B(4,0)，D(0, －2)得直線BD的解析式為:y=x－2，

設(shè)P（m，0），則M(m，m－2)，Q(m，m²+m+2)，

∴BP=4－m，PM=2－m，PQ=m²+m+2，

∴（4－m）²=（2－m）（m²+m+2），

解得：m=3或m=4（舍），

即Q(3，2);

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(－1,0)，(3，2).

【變式2－1】（2019·信陽(yáng)一模）如圖,頂點(diǎn)為(2,－1)的拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)交y軸于點(diǎn)C(0,3),交x軸于A,B兩點(diǎn),直線l過AC兩點(diǎn),點(diǎn)P是位于直線l下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交直線l于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求線段PQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)G,使△BCG為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，－1），

即拋物線解析式可表示為：，

將C(0,3)代入上式得：a=1，

即拋物線的解析式為：=.

（2）由，得當(dāng)y=0時(shí)，x=1或x=3，

即B(1,0)，A(3,0),

由A(3,0), C(0,3)可得直線AC的解析式為：y=－x+3，

設(shè)Q（m，－m+3），則P(m，), 0<m<3，

∴PQ=－m+3－（）

=－

=，

當(dāng)m=時(shí)，PQ的長(zhǎng)取最大值，此時(shí)點(diǎn)P(，).

（3）存在，設(shè)G（2，n），

由B(1,0)，C(0,3)得：

，BG²=1+n²，CG²=4+（n－3）²，

①當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：

1+n²=4+（n－3）²+10，解得：n=，即G(2,?)；

②當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：

1+n²=4+（n－3）²－10，解得：n=，即G(2,?)；

③當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：

1+n²=10－4－（n－3）²，解得：n=1或n=2，即G(2,?1)或（2,2）；

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為：(2,?)，(2,?)，(2,?1)，（2,2）.

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