專(zhuān)題14 用函數(shù)的思想看圖形的最值問(wèn)題

【例1】（2019·河南南陽(yáng)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=kx－與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－8.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），作DE⊥AC于E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求DE的長(zhǎng)關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出DE長(zhǎng)的最大值；

（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)在拋物線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出平移后的點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’的坐標(biāo).

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）過(guò)D作DF⊥x軸交AC于F，利用三角函數(shù)知識(shí)將DE長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為DF的長(zhǎng)度，借助二次函數(shù)最值問(wèn)題求解；（3）設(shè)出平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)，分兩種情況（O、B在豎直線(xiàn)上，平移后不可能同時(shí)在函數(shù)圖象上）討論，將坐標(biāo)代入解析式中求解.

【解析】解：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線(xiàn)表達(dá)式得：

0＝2k﹣，

解得：k＝，

故一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x﹣，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣8，﹣），

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得：

函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x²﹣x+；

（2）作DF⊥x軸交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，

∴∠DFE＝∠OBA，

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)D（m，﹣m²﹣m+），點(diǎn)F（m，m﹣），

DF＝﹣m²﹣m+﹣(m﹣）

＝﹣m²﹣m+4，

由勾股定理得：AB＝，

∵sin∠DFE＝sin∠OBA＝，

∴DE＝DF?sin∠DFE

＝（﹣m²﹣m+4）

＝﹣（m+3）²+5，

∴當(dāng)m=－3時(shí)，DE的最大值為5；

（3）設(shè)三角形向左平移t個(gè)、向上平移n個(gè)單位時(shí)，三角形有2個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，

則平移后點(diǎn)A、O、B的坐標(biāo)分別為（﹣t+2，n）、（﹣t，n）、（﹣t，﹣+n），

∵O、B在豎直線(xiàn)上，

∴這兩點(diǎn)平移后的點(diǎn)不可能都在拋物線(xiàn)上，

①當(dāng)點(diǎn)O、A平移后的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)，

，

解得：t＝，

即點(diǎn)A′（﹣，）．

②當(dāng)點(diǎn)B、A平移后的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)，

，

解得：t＝4，

即點(diǎn)A′（﹣2，3）．

綜上所述，點(diǎn)A’的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣2，3）.

【變式1-1】（2019·南陽(yáng)畢業(yè)測(cè)試）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax²+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB＝4，矩形OBDC的邊CD＝1，延長(zhǎng)DC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P是直線(xiàn)EO上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)EO于點(diǎn)G，作PH⊥EO，垂足為H．設(shè)PH的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出m的取值范圍），并求出l的最大值.

圖1 ????????????????????????圖2

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）∵矩形OBDC的邊CD＝1，

∴OB＝1，

由AB＝4，得OA＝3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

∵拋物線(xiàn)y＝ax²+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，

∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，

解得：a=，b=，

∴拋物線(xiàn)解析式為y＝x²x+2；

（2）在y＝x²x+2中，

當(dāng)y＝2時(shí)，x＝0或x＝﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線(xiàn)OE解析式為y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，

∵P（m，m²m+2），PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∴PG＝m²m+2﹣（﹣m）

＝+，

∵∠PGH＝∠COE＝45°，

∴l＝PG

＝+，

∴當(dāng)m＝時(shí)，l有最大值，最大值為.

【例2】（2019·省實(shí)驗(yàn)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，C（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)F，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，﹣3），C（1，0），

∴c=-3，1+b+c=0，

解得：b=2，c=-3，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x²+2x﹣3；

（2）在y＝x²+2x﹣3中，y＝0時(shí)，x₁＝1，x₂＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

∵B（0，-3），

∴OA＝OB＝3，

∴∠BAO＝45°，

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF＝45°，

可得△PDE是等腰直角三角形，

由A（﹣3，0），B（0，3）得直線(xiàn)AB的解析式為：y=-x-3，

C_△PDE=PE+PD+DP

=PE+PE+PE

=（+1）PE，

設(shè)P（m，m²+2m﹣3），則E(m，－m－3)，PE=－m²－3m

C_△PDE=（+1）（－m²－3m）

=－（+1）（m+）²+（+1），

????∴當(dāng)m=－時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)越大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（－，－）.

【變式2-1】（2019·平頂山三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）、B（0，1），過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)C.

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖，點(diǎn)G是BC上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H、作GE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△GFH的周長(zhǎng)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）∵拋物線(xiàn)y=過(guò)點(diǎn)A（1，3）、B（0，1），

∴，解得：，

即拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=，

y=

=，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；

（2）∵A（1，3），由對(duì)稱(chēng)軸可知C（4，3）

由B（0，1）、C（4，3），

得直線(xiàn)BC的解析式為：，BC=，

由題意知，∠ACB=∠FGH，

延長(zhǎng)CA與y軸交于點(diǎn)I，則I（0，3）

∴BI=2，CI=4，

由△BCI∽△FGH，得：,

即，

∴，，

即△GFH的周長(zhǎng)為：C=FH+GH+FG=，

設(shè)G(m,?)，則F(m, )，

∴C=

=

=

∴當(dāng)m=2時(shí)，△GFH的周長(zhǎng)有最大值，最大值為：.

【例3】（2019·安陽(yáng)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A(-2，0)，B(4，0)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)C(0，-3)，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式．

（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上第四象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PD，當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】見(jiàn)解析．

【解析】解：

（1）∵C(0,-3)，

∴c=-3，

將A、B坐標(biāo)代入y=ax²+bx-3得：

，

解得：，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²x－3.

（2）中，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，即D(2,0)，

連接OP，

設(shè)P(m，m²m－3)，其中：0<m<4，

S_△PCD=S_△ODP+S_△OCP－S_△OCD

=

=，

????∵<0，

∴當(dāng)m=3時(shí)，△PCD的面積取最大值，最大值為，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）.

【變式3-1】（2018·河南第一次大聯(lián)考）如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱(chēng)軸為x=–1，P為拋物線(xiàn)上第二象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式并寫(xiě)出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求四邊形PABC面積最大時(shí)的值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

?

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）由題意得：

，解得：a=－1，b=－2，c=3，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=－x²－2x+3；

（2）在y=－x²－2x+3中 ，y=2時(shí)，得：

2=－x²－2x+3，

解得：x=－1+或x=－1－，

∵點(diǎn)P在第二象限，

∴x=－1－，

即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：－1－；

（3）連接AC，過(guò)P作PE⊥x軸交AC于E，

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+n，

得：n=3，－3k+n=0，

∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=x+3，

S_{四邊形PABC}=S_△ABC+S_△APC

=×4×3+×PE×OA

=PE，

設(shè)P（m，－m²－2m+3）,則E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+3）,

∴PE=－m²－2m+3－（m+3）=－m²－3m，

∴S_{四邊形PAOC}=PE

=（－m²－3m）

=－（m+）²+,

∵－<0，

∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)m=－時(shí)，四邊形PABC面積最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－，）.

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