第一章 集合與函數(shù)概念

課時一：集合有關(guān)概念

1.?集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東 ?西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

2.?一般的研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

3.?集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。例：世界上最高的山、中國古代四大美女、教室里面所有的人……

（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。

例：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{…} 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

1）列舉法：將集合中的元素一一列舉出來 ?{a,b,c……}

2）描述法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。

{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

（1）有限集：含有有限個元素的集合

（2）無限集：含有無限個元素的集合

（3）空集：不含任何元素的集合　　例：{x|x²=－5｝

5、元素與集合的關(guān)系：

??????（1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A

??????（2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a ??A

u?注意：常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N ???

正整數(shù)集 ?N*或 N+ ?

整數(shù)集Z ?

有理數(shù)集Q ?

實數(shù)集R

課時二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

（1）定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。記作：（或BＡ）

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；

（2）A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關(guān)系：A=B ?(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設(shè) ?A={x|x²-1=0} ?B={-1,1} ??“元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1?B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

?????????或若集合AíB，存在xB且x??A，則稱集合A是集合B的真子集。

③如果 AíB, BíC ,那么 AíC

④ 如果AíB ?同時 BíA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

u?有n個元素的集合，含有2ⁿ個子集，2ⁿ -1個真子集，2ⁿ -1個非空子集，2ⁿ -2個非空真子集

課時三、集合的運算

課時四：函數(shù)的有關(guān)概念

1．?函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

（2）與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域．

函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

3、區(qū)間的概念：

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示

4函數(shù)的表示方法：（1）解析法：明確函數(shù)的定義域

（2）圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。

（3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。

?5、函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .

(2) 畫法

A、描點法： ?B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換。

（3）函數(shù)圖像變換的特點：

??????1）函數(shù)y=f(x) ?關(guān)于X軸對稱y=-f(x)

??????2）函數(shù)y=f(x) ?關(guān)于Y軸對稱y=f(-x)

??????3）函數(shù)y=f(x) ?關(guān)于原點對稱y=-f(-x)

2．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”

對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

課時五：函數(shù)的解析表達式，及函數(shù)定義域的求法

1、函數(shù)解析式子的求法

（1）、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）、求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系數(shù)法：

3）換元法：

4)拼湊法：

2．定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

????(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. ?

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零， ?

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

3、相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)

課時六：

1．值域 : 先考慮其定義域

（1）觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域； ?

(2)配方法：針對二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，注意定義域的范圍。 ?

(3)代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。

(4)分離常數(shù)法

課時七

1.分段函數(shù) ??

（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

（2）各部分的自變量的取值情況．

（3）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補充：復合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) ?稱為f、g的復合函數(shù)。

（4）常用的分段函數(shù)

1）取整函數(shù)：

2）符號函數(shù)：

3）含絕對值的函數(shù)：

??注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)

課時八函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值

1、增減函數(shù)

（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x₁，x₂，當x₁₂時，都有f(x₁)₂)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

（2）如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x₁，x₂，當x₁₂ 時，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種

2、 圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A) 定義法：

1?任取x₁，x₂∈D，且x₁₂；

2?作差f(x₁)－f(x₂)；

3?變形（通常是因式分解和配方）；

4?定號（即判斷差f(x₁)－f(x₂)的正負）；

5?下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數(shù)的單調(diào)性

復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

課時九：函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）

（1）、偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

（2）、奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

（3）、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函數(shù)；若對稱，則進行下面判斷；

2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；

3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)．

（4）利用奇偶函數(shù)的四則運算以及復合函數(shù)的奇偶性

??????1）在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；

?????????????????????????奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；

奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；

偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；

一奇一偶的乘積是奇函數(shù)；

????????2）復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。 ???????????????????????

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，

(1)再根據(jù)定義判定;

(2)由?f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;

(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .

課時十、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用

1、函數(shù)的最值

1?利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?/span>

2?利用圖象求函數(shù)的最大（小）值

3?利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担?/span>

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

???奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；

???偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。

3、判斷含糊單調(diào)性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。

4、絕對值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。

5、在判斷函數(shù)的奇偶性時候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。（高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0）。

指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)知識歸納

知識要點梳理
知識點一：指數(shù)及指數(shù)冪的運算
1.根式的概念
　　的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
　　當為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負數(shù)的次方根是負數(shù)，表示為；當為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根 ??

有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)可以表示為.負數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.
　　式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).
2.n次方根的性質(zhì)：?
　　(1)當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，???(2)
3.分數(shù)指數(shù)冪的意義：?
　　；
　　注意：0的正分數(shù)指數(shù)冪等與0，負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.
4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：?
　　?　(1)?(2)?(3)
知識點二：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1.指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域為.
2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)：?

知識點三：對數(shù)與對數(shù)運算
1.對數(shù)的定義
　　(1)若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，叫做底數(shù)，?叫做真數(shù).
　　(2)負數(shù)和零沒有對數(shù). ????(3)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.
2.幾個重要的對數(shù)恒等式： ，，.
3.常用對數(shù)與自然對數(shù)：常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即(其中…).
4.對數(shù)的運算性質(zhì)
　　如果，那么 ??①加法：
　　②減法：　 ③數(shù)乘：　④　

⑤??⑥換底公式：
知識點四：對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1.對數(shù)函數(shù)定義

一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.

2.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：?

知識點五：反函數(shù)
1.反函數(shù)的概念
　　設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子.如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成.
2.反函數(shù)的性質(zhì)
　　(1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
　　(2)函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.
　　(3)若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上.
　　(4)一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).
3.反函數(shù)的求法
　　(1)確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；
　　(2)從原函數(shù)式中反解出；
　　(3)將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域.
知識點六：冪函數(shù)
1.冪函數(shù)概念
　　形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).
2.冪函數(shù)的性質(zhì)
　(1)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.冪函

數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)

時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，

圖象只分布在第一象限.
　(2)過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點.
　(3)單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在 上為增函

數(shù).如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，

圖象無限接近軸與軸.
　(4)奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù).當(其中互質(zhì)，和

)，若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為

偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù).
　(5)圖象特征：冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖

象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下

方.

高中數(shù)學必修4知識點

第一章 三角函數(shù)

2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第一象限角的集合為

第二象限角的集合為

第三象限角的集合為

第四象限角的集合為

終邊在軸上的角的集合為

終邊在軸上的角的集合為

終邊在坐標軸上的角的集合為

3、與角終邊相同的角的集合為

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．

5、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是．

6、弧度制與角度制的換算公式：，，．

7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．

8、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，則，，．

9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，

第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

10、三角函數(shù)線：，，．

11、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；．

12、函數(shù)的誘導公式：

，，．

，，．

，，．

，，．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

，．，．

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

13、①的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．

②數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．

14、函數(shù)的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：．

函數(shù)，當時，取得最小值為?；當時，取得最大值為，則，，．

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

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