專題07 圓中證明及存在性問題

【例1】（2019·河南南陽一模）如圖，已知⊙A的半徑為4，EC是圓的直徑，點B是⊙A的切線CB上一個動點，連接AB交⊙A于點D，弦EF∥AB，連接DF，AF.

（1）求證：△ABC≌△ABF；

（2）當(dāng)∠CAB= 時，四邊形ADFE為菱形；

（3）當(dāng)AB= 時，四邊形ACBF為正方形.

【分析】（1）由EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，證得△ABC≌△ABF；（2）連接FC，根據(jù)ADFE為菱形，確定出∠CAB的度數(shù)；（3）由四邊形ACBF是正方形，得AB=AC=4.

【解析】解：（1）∵EF∥AB，

∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，

∵AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE，

∴∠BAC=∠BAF，

又AB=AB，AC=AF，

∴△ABC≌△ABF（SAS）；

（2）如圖，連接FC，

∵四邊形ADFE是菱形，

∴AE=EF=FD=AD，

∵CE=2AE，∠CFE=90°，

∴∠ECF=30°，∠CEF=60°，

∵EF∥AB，

∴∠AEF=∠CAB=60°，

故答案為：60°；

（3）由四邊形ACBF是正方形，得AB=AC=4.

【變式1-1】（2019·開封二模）如圖，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直徑，DA、DB分別交⊙O于點E、C，連接EC，OE，OC．

（1）當(dāng)∠BAD是銳角時，求證：△OBC≌△OEC；

（2）填空：

①若AB＝2，則△AOE的最大面積為?????；

②當(dāng)DA與⊙O相切時，若AB＝，則AC的長為?????．

【答案】（1）見解析；（2）；1.

【解析】解：（1）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AC⊥BD，

∵AD＝AB，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴BC＝EC，

又∵OB=OE，OC=OC，

∴△OBC≌△OEC（SSS），

（2）①∵AB＝2，

∴OA＝1，

設(shè)△AOE的邊OA上的高為x，

∴S_△AOE＝OA×h

＝h，

要使S_△AOE最大，需h最大，

點E在⊙O上，h最大是半徑，

即：h_最大＝1

∴S_△AOE最大為：；

②如圖所示，

當(dāng)DA與⊙O相切時，則∠DAB＝90°，

∵AD＝AB＝，

∴∠ABD＝45°，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AC＝BC＝AB=1.

【例2】（2019·濟源一模）如圖，△ABC?中，AB=AC，以 AB?為直徑的⊙O?與 BC?相交于點 D， 與 CA?的延長線相交于點 E，過點 D?作 DF⊥AC?于點 F．

（1）試說明 DF?是⊙O?的切線；

（2）①當(dāng)∠C=? ?????°時，四邊形 AODF?為矩形；

②當(dāng) tanC=? ?????時，AC=3AE．

【答案】見解析.

【解析】解：（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，點D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切線；

（2）45°，理由如下：

由四邊形AODF為矩形，得∠BOD=90°，

∴∠B=45°，

∴∠C=∠B=45°，

故答案為：45°；

（3），理由如下，

連接BE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE²=AB²－AE²?=8AE²，

即BE=AE，

在Rt△BEC中，tanC=.

故答案為：.

【變式2-1】（2019·安陽一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，點P是AB的延長線上一點，且∠PDB=∠A，連接DE，OE．

（1）求證：PD是⊙O的切線．

（2）填空：①當(dāng)∠P的度數(shù)為______時，四邊形OBDE是菱形；

②當(dāng)∠BAC=45°時，△CDE的面積為_________．

【答案】（1）見解析；（2）30；.

【解析】解：（1）連接OD，

∵OB=OD,?∠PDB=∠A，

∴∠ODB=∠ABD=90°－∠A=90°－∠PDB，

∴∠ODB+∠PDB=90°，

∴∠ODP=90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴PD是⊙O的切線.

（2）①30°，理由如下：

∠P=30°，則∠BOD=60°，

∴△BOD是等邊三角形，

∴∠ADP=30°，∠A=60°，

∴△AOE是等邊三角形，即∠AOE=60°，

∴∠EOD=60°，

∴△ODE是等邊三角形，

∴OB=BD=DE=OE，

即四邊形OBDE是菱形；

②連接BE，AD，如上圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴D為BC中點，

∴S_△DCE=S_△BCE，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，

∵AB=AC=4，

∴AE=BE=，CE=4-，

∴S_△DCE=S_△BCE，

=×BE·CE

=×××（4-）

=.

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