專題08圓中證明及計算問題
【例1】（2019·葉縣一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）求證：AB?CP＝BD?CD；
（3）當AB＝5 cm，AC＝12 cm時，求線段PC的長．
【答案】見解析.
【解析】（1）證明：連接OD．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PA，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
即OD⊥PA，
∴PD是⊙O的切線．
（2）證明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△BAD∽△CDP，
∴
，
∴AB?CP＝BD?CD．
（3）∵BC是直徑，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得：BC＝13，
由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝
，
∵AB?CP＝BD?CD．
∴PC＝
．
【變式1-1】（2018·焦作一模）如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，延長BC到點D，使CD=CA，連接AD交⊙O于點E．
（1）求證：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①當∠ABC的度數(shù)為?????時，四邊形AOCE是菱形；
②若AE=6，BE=8，則EF的長為???????．
【答案】（1）見解析；（2）60；
.
【解析】（1）證明：連接CE，
∵AB=AC，CD=CA，
∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，
∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，
∴∠ECD+∠BCE=∠BAE?+∠BCE=180°，
∴∠ECD=∠BAE，
同理，∠CED=∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠CED=∠AEB，
∴△ABE≌△CDE；
（2）①60；
連接AO、OC，
∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，
∴∠ABC+∠AEC=180°，
∵∠ABC=60，
∴∠AEC=∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠OAE=∠OCE=60°，
即四邊形AOCE是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴四邊形AOCE是菱形；
②由（1）得：△ABE≌△CDE，
∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC，
由∠CED=∠ABC=∠ACB，
得△ECD∽△CFB，
∴
=
，
∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，
∴△AEF∽△BCF，
∴
，
即
，
∴EF=
．
【例2】（2019·省實驗一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB上方的圓上一動點，過點C作⊙O的切線l，過點A作直線l的垂線AD，交⊙O于點D，連接OC，CD，BC，BD，且BD與OC交于點E．
（1）求證：△CDE≌△CBE；
（2）若AB＝4，填空：
①當弧CD的長度是 ?時，△OBE是等腰三角形；
②當BC＝ ? 時，四邊形OADC為菱形．
【答案】（1）見解析；（2）
；2．
【解析】（1）證明：延長AD交直線l于點F，
∵AD垂直于直線l，
∴∠AFC＝90°，
∵直線l為⊙O切線，
∴∠OCF＝90°，
∴∠AFC＝∠OCF＝90°，
∴AD∥OC，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OC⊥DB，
∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，
∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE；
（2）①如圖2，連接OD，
由（1）知∠OEB＝90°，
當△OBE是等腰三角形時，
則△OEB為等腰直角三角形，
∴∠BOE＝∠OBE=45°，
∵OD＝OB，OE⊥BD，
∴∠DOC＝∠BOE＝45°，
∵AB＝4，
∴OD＝2，
∴弧CD的長=
=
；
②當四邊形OADC為菱形時，
則AD＝DC＝OC＝AO＝2，
由（1）知，BC＝DC，
∴BC＝2.
【變式2-1】（2019·河南南陽一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B=135°，則弧AC的長為（ ）
A. 2π B. π C. 
D. 
【分析】根據(jù)弧長公式
，需先確定弧AC所對的圓心角∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍得到∠AOC=2∠D，根據(jù)圓內接四邊形對角互補，求出∠D=180°－∠B=45°，再代入弧長公式求解即可.
【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠D=180°－∠B=45°，
∴弧AC所對圓心角的度數(shù)為：2×45°=90°，
∵⊙O的半徑為2，
∴弧AC的長為：
=π，
故選B.
1.（2018·洛陽三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O，與斜邊AB交于點D，E為BC邊的中點，連接DE.
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=
，則BD=
②當∠B= 時，以O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形.
【答案】見解析.
【解析】解：（1）連接OD，
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，∠CDB=90°，
∵E是BC的中點，
∴DE=CE=BE，
∴∠DCE=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）3；45°，理由如下：
①∵∠B=30°，AC=
，∠BCA=90°，
∴BC=?AC÷tan30°=6，
∴DE=3，
②由∠B=∠A=45°，
OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
又∠ODE=90°，
∴四邊形ODEC是矩形，
∵OD=OC，
∴四邊形ODEC是正方形.
2.（2018·河南第一次大聯(lián)考）已知△ABC內接于以AB為直徑的⊙O，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點D，且DA∶AB=1∶2．
（1）求∠CDB的度數(shù)；
（2）在切線DC上截取CE=CD，連接EB，判斷直線EB與⊙O的位置關系，并證明．
【答案】見解析.
【解析】解：（1）如圖，連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°．
∵DA：AB=1：2，
∴DA=OC，DO=2OC．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=
，
∴∠CDO=30°，
即∠CDB=30°．
（2）直線EB與⊙O相切．
證明：連接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°，
∴∠ECB=60°，
又∵CD=CE，
∴CB=CE，
∴△CBE為等邊三角形，
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°，
∴EB是⊙O的切線．
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