專題06圖形面積計算

【例1】（2019·南陽模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝6，將扇形AOB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在弧AB上點D處，折痕交OA于點C，則整個陰影部分的面積為（ ??）

A．9π﹣9 B．9π﹣6???? C．9π﹣18 ????D．9π﹣12

【答案】D.

【解析】解：連接OD，

由折疊的性質(zhì)知：CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，

∴OB＝OD＝BD，

即△OBD是等邊三角形，

∴∠DBO＝60°，

∴∠CBO＝30°，

∴OC＝OB＝2，

∴S_陰影=S_扇形AOB﹣S_△BDC﹣S_△OBC

S_△BDC＝S_△OBC＝×OB×OC＝×6×2＝6，

S_扇形AOB＝9π，

∴S_陰影=S_扇形AOB﹣S_△BDC﹣S_△OBC

=9π﹣6﹣6

＝9π﹣12．

所以答案為：D．

【變式1-1】（2019·開封模擬）如圖，把半徑為2的⊙O沿弦AB，AC折疊，使弧AB和弧BC都經(jīng)過圓心O，則陰影部分的面積為（ ???）

A． B． C．2 D．4

【答案】C．

【解析】解：過O作OD⊥AC于D，連接AO、BO、CO，

∴OD＝AO＝1，AD＝AC＝，

∴∠OAD＝30°，

∴∠AOC＝2∠AOD＝120°，

同理∠AOB＝120°，∠BOC＝120°，

∴S_陰＝2S_△AOC

＝2××2²＝2，

所以答案為：C．

【變式1-2】（2017·鄭州一模）如圖，半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式折疊，使對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是?????．

【答案】．

【解析】解：設(shè)折痕為AB，連接OM交AB于點C，連接OA、OB，

由題意知，OM⊥AB，且OC=MC=，

在RT△AOC中，OA=1，OC=，

∴∠AOC=60°，AC=，AB=2AC=，

∴∠AOB=2∠AOC=120°，

S_陰影=S_半圓﹣2S_弓形ABM

=π×1²﹣2（）

=．

故答案為：．

【例2】（2019·鄭州外外國語測試）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，若圖中陰影部分面積為，則AB=

【答案】2.

【解析】S_陰影=S_△ADE+S_扇形BAD－S_△ABC

∵S_△ADE= S_△ABC

∴S_陰影= S_扇形BAD=，

∴=,

解得：AB=2，

故答案為：2.

【變式2-1】（2019·河南南陽一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點M在CD邊上，且DM=1，△AEM與△ADM關(guān)于AM所在直線對稱，將△ADM按順時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接EF，則線段EF的長為（ ）

A. 3 B.? C.? D.?

【分析】求線段的長度，常用方法是將所求線段放在直角三角形中借助勾股定理求解，如圖作出輔助線，通過分析可知，△ADM≌△ABF≌△AEM，可得DM=EM=1，AE=AD=AB=3，進(jìn)而利用△AEK∽△EMH，求得EH，MH的長，再計算出EG，FG的長，在Rt△EFG中，利用勾股定理求EF的長度即可.

【解析】過點E作EG⊥BC于G，作EH⊥CD于H，延長HE交AB于K，如圖所示，

由題意知，△ADM≌△ABF≌△AEM，

∴DM=EM=1，AE=AD=AB=3，

由△AEK∽△EMH，

得：=3，

∴設(shè)EH=x，則AK=3x，即DH=3x，MH=3x－1，

在Rt△EMH中，由勾股定理得：

，

解得：x=0（舍）或x=，

∴MH=，AK=DH=，CH=3－DH=，

KE=BG=3MH=，

∴FG=BF+BG=，EG=CH=，

在Rt△EFG中，由勾股定理得：

EF=,

故答案為：C.

【變式2-2】（2019·洛陽二模）如圖，矩形 ABCD?中，AB=2，BC=1，將矩形 ABCD?繞點 A?旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，點 C?的運動路徑為弧 CC′，當(dāng)點 B′落在 CD?上時，則圖中陰影部分的面積為? ．

【答案】.

【解析】解：連接AC’，AC，過點B’作B’E⊥AB于E，如圖圖所示，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：AC=AC’， AB’=AB=2，∠CAB=∠C’AB’，

∵BC=B’E=1，

∴∠B’AB=30°，

∴∠C’AC=30°，

∴AE=，B’C=2－，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=,

∴S_陰影=S_扇形C’AC－S_△AB’C’－S_△B’CA

=

=.

故答案為：.

【例3】（2019·河南南陽一模）如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，CA=4，D為AC的中點，以D為圓心，以DB的長為半徑作圓心角為90°的扇形EDF，則圖中陰影部分的面積為 .

【分析】設(shè)DE與BC交于M，DF與AB交于N，S_陰影=S_扇形EDF－S_{四邊形DMBN}，根據(jù)△DBM≌△DAN，得S_{四邊形DMBN}=S_△BDA，再利用扇形面積公式及三角形面積公式求解即可.

【解析】解：設(shè)DE與BC交于M，DF與AB交于N，

∵AB=BC，∠ABC=90°，D是AC中點，

∴∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°，AD=BD=2，∠BDA=90°，

∵∠EDF=90°，

∴∠BDM=∠ADF，

∴△DBM≌△DAN，

即S_△DBM=S_△DAN，

∴S_{四邊形DMBN}=S_△BDA，

S_陰影=S_扇形EDF－S_{四邊形DMBN}

????=

=

=π－2，

故答案為：π－2.

【變式3-1】（2018·洛陽三模）如圖，在扇形OAB中，C是OA的中點，CD⊥OA，CD與弧AB交于點D，以O為圓心，OC的長為半徑作弧CE交OB于點E，若OA=6，∠AOB=120°，則圖中陰影部分的面積為 .

【答案】.

【解析】解：連接OD，交弧CE于F，連接AD，

∵OC=AC=3，CD⊥OA，

∴CD是線段OA的垂直平分線，

∴OD=AD，

∵OD=OA，

∴△OAD是等邊三角形，

∵∠AOB=120°，

∴∠DOA=∠BOD=60°，

∴CD=OC=3，

∴S_陰影=S_扇形BOD－S_扇形EOF+S_△COD－S_扇形COF

=

=3π+.

即答案為：3π+.

【變式3-2】（2018·河南第一次大聯(lián)考）如圖，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長、圓心為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板的圓心繞O旋轉(zhuǎn)，則正方形ABCD被紙板覆蓋部分的面積為（ ）

A．a² B．a² C．a² D．a

【答案】B.

【解析】解：如圖，過O作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，

∴OE=OF，∠EOF=90°，

∴四邊形OEDF是正方形，OF=，

∵扇形的圓心角為直角，

∴△OME≌△ONF，

∴S_陰影=S_{正方形OEDF}=，

故答案為：B．

1.（2018·河南師大附中模擬）如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，∠A=120°，則圖中陰影部分（△BDF）的面積等于 .

【答案】.

【解析】解：由題意得：S_△BDF=S_菱形ABCD+S_菱形ECGF－S_△BGF－S_△EDF－S_△ABD

菱形ECGF邊CG邊上的高為：GF·sin60°=，

菱形ECGF邊CE邊上的高為：EF·sin60°=，

∴S_△BDF=

=，

故答案為：.

2.（2019·濟源一模）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示的弦圖中，中間的小正方形 ABCD?的邊長為 1，分別以A，C為圓心，1為半徑作圓弧，則圖中陰影部分的面積為? ????????

【答案】.

【解析】解：連接BD，

S_陰影=2（S_扇形BAD－S_△ABD）

=2（）

=，

故答案為：.

3.（2019·偃師一模）如圖，正方形ABCD?中，AB=1，將線段 CD?繞點 C?順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段CE，線段 BD?繞點 B?順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 BF，連接 EF，則圖中陰影部分的面積是???????

【答案】－.

【解析】解：

過F作FM⊥BE于M，則∠FME=∠FMB=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，AB=1，

∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=1，∠DCB=45°，

由勾股定理得：BD=，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：

∠DCE=90°，BF=BD=，∠FBE=90°－45°=45°，

∴BM=FM=1，即C點與M點重合，ME=1，

∴陰影部分的面積：S=S_△BCD+S_△BFE+S_扇形DCE－S_扇形DBF

=+1+－

=－，

故答案為：－．

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