專題03 折疊與落點(diǎn)有跡性

【例題】（2018·河師大附中模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿AP折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，則BP的長(zhǎng)等于

【答案】10或.

【解析】解：點(diǎn)B’的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心以AB的長(zhǎng)為半徑的圓，圓與BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求的落點(diǎn)B’，

如圖作出圖形，

分兩種情況計(jì)算：

①連接BB’，過(guò)B’作B’E⊥BC于E，如下圖所示，

由題意知，BB’=B’C，BP=B’P，BE=EC=4，BB’⊥AP，

∴∠B’BC=∠B’CB，∠B’BC+∠APB=90°，∠B’CB+∠CB’E=90°，

∴∠APB=∠CB’E，

∴△CB’E∽△APB，

∴,即，

設(shè)BP=x，則B’P=x，EP=4－x，B’E=x，

在Rt△B’PE中，由勾股定理得：

，

解得：x=10（舍）或x=，

即BP=；

②過(guò)A作AH⊥MN于H，如圖所示，

∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5,

∴B’H=3，B’G=8，

設(shè)BP=x，則B’P=x，PG=x－4，

在Rt△PGB’中，由勾股定理得：

，

解得：x=10，即BP=10;

綜上所述，答案為：10或.

【變式】（2019·偃師一模）如圖，在邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，CD=1，點(diǎn)E為邊AB?上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為對(duì)稱軸折疊△AED，點(diǎn) A?的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) F，當(dāng)點(diǎn) F?落在等邊三角形ABC的邊上時(shí)，AE?的長(zhǎng)為? ??．

【答案】1或5－.

【解析】解：第一步：確定落點(diǎn)，點(diǎn)F在以D為圓心，以線段AD的長(zhǎng)為半徑的弧上，如下圖所示，

第二步，根據(jù)落點(diǎn)確定折痕（對(duì)稱軸）

（1）∵AD=DF=2，∠A=60°，

∴△ADF是等邊三角形，

∵DE平分∠ADF，

∴AE=EF=1；

（2）如下圖所示，

由對(duì)稱知，∠EFD=∠A=60°，

∴∠EFB+∠DFC=120°，

∵∠DFC+∠FDC=120°，

∴∠EFB=∠FDC，

∵∠B=∠C=60°，

∴△BEF∽△CFD，

∴,

設(shè)AE=x，則BE=3－x，

即,

∴BF=，CF=，

∵BF+CF=3，

即+=3，

解得：x=5+（舍）或x=5－，

綜上所述，答案為：1或5－.

1.（2019·洛陽(yáng)二模）如圖，P?是邊長(zhǎng)為 3 的等邊△ABC?的邊 AB?上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn) P?的直線折疊∠B，使點(diǎn) B?落在 AC?上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 D，折痕交 BC?于點(diǎn) E，點(diǎn) D?是 AC?的一個(gè)三等分點(diǎn)，PB?的長(zhǎng)為? ．

【答案】1或5－.

【解析】解：第一步確定落點(diǎn)，AC的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，所以有兩種情況；第二步根據(jù)落點(diǎn)確定折痕，方法：作BD的垂直平分線即為折痕所在的直線；

（1）如下圖所示，

由折疊性質(zhì)得：∠B=∠EDP=60°，

∴∠CDE+∠ADP=120°，

∵∠A=∠C=60°，

∴∠ADP+∠APD=120°，

∴∠APD=∠CDE，

∴△CED∽△ADP，

∴，

設(shè)BP=DP=x，則AP=3－x，

∴，

∴CE=，DE=，

∵DE=BE，

∴CE+DE=CE+BE=3，

即+=3，

解得：x=；

（2）如下圖所示，當(dāng)CD=1時(shí)，

同理可得：

∴，

設(shè)BP=DP=x，則AP=3－x，

∴，

∴CE=，DE=，

∴+=3，

解得：x=；

綜上所述，PB的長(zhǎng)為或.

2.（2017·新野一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分別是線段AD，BC上的點(diǎn)，連接EF，使四邊形ABFE為正方形，若點(diǎn)G是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接FG，將矩形沿FG折疊使得點(diǎn)C落在正方形ABFE的對(duì)角線所在的直線上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，則線段AP的長(zhǎng)為???????????．

【答案】4或4﹣2．

【解析】解：如圖1所示：

由翻折的性質(zhì)可知PF=CF=4，

∵ABFE為正方形，邊長(zhǎng)為2，

∴AF=2．

∴PA=4﹣2．

如圖2所示：

由翻折的性質(zhì)可知PF=FC=4．

∵ABFE為正方形，

∴BE為AF的垂直平分線．

∴AP=PF=4．

故答案為：4或4﹣2．

3.（2018·信陽(yáng)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE=2，點(diǎn)F在AD上，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為　 ??　．

【答案】4或4．

【解析】解：第一步，確定落點(diǎn)，以E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為A’，

第二步，作出折痕，求解.

(1) 如下圖所示，

由折疊性質(zhì)知：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，

AM=AD=3，

過(guò)E作EH⊥MN于H，則四邊形AEHM是矩形，

∴MH=AE=2，

由勾股定理得：A′H=，

∴A′M=，

由MF²+A′M²=A′F²，

得（3﹣AF）²+（）²=AF²，

解得：AF=2，

在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4；

（2）如下圖所示，

可得：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，

過(guò)A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，則四邊形AGHD是矩形，

∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3，

在Rt△A’EG中，由勾股定理得：EG=，

∴DH=AG=AE+EG=3，

在Rt△A’HF中，由勾股定理得：A′F=6，

在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4；

故答案為：4或4．

4.（2019·三門峽二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝2CE，將矩形沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)B，C′，D′恰好在同一直線上時(shí)，AF的長(zhǎng)為??????????．

【答案】，．

【解析】解：由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，

∵點(diǎn)B、C′、D′在同一直線上，

∴∠BC′E＝90°，

∵BC＝12，BE＝2CE，

∴BE＝8，C′E＝CE＝4，

在Rt△BC′E中，∠C′BE＝30°，

①當(dāng)點(diǎn)C′在B、D’之間時(shí)，過(guò)E作EG⊥AD于G，延長(zhǎng)EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形，

∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，

∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，

∴∠BEC′＝60°，

由折疊的性質(zhì)得，∠C′EF＝′CEF，

∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，

∵AD∥BC

∴∠HFE＝∠CEF＝60°，

∴△EFH是等邊三角形，

∴在Rt△EFG中，EG＝6，GF＝2，

∴AF═8+2；

②當(dāng)點(diǎn)D′在B、C’之間時(shí)，過(guò)F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，

同理可得：AF＝8﹣2，

故答案為：或．

5.（2019·南陽(yáng)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，得到△AB′E．若B′恰好落在射線CD上，則BE的長(zhǎng)為?????．

【答案】15或.

【解析】解：第一步：確定落點(diǎn)，以A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線CD于B’，

分兩種情況討論；

第二步，根據(jù)落點(diǎn)作出折痕，求解；

（1）如下圖所示，

由折疊知：AB′＝AB＝5，B′E＝BE，

∴CE＝3﹣BE，

∵AD＝3，

∴DB′＝4，B′C＝1，

由勾股定理知：B′E²＝CE²+B′C²，

∴BE²＝（3﹣BE）²+1²，

∴BE＝；

（2）如下圖所示，AB′＝AB＝5，

∵CD∥AB，

∴∠1＝∠3，

∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3，

∵AE垂直平分BB′，

∴AB＝BF＝5，

∴CF＝4，

∵CF∥AB，

∴△CEF∽△ABE，

∴，

即，

∴CE＝12，

∴BE＝15，

故答案為：或15．

6.（2019·開(kāi)封模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2cm，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊上，則BN的長(zhǎng)為???????cm．

【答案】或.

【解析】解：∵N不與A重合，

∴B落點(diǎn)不會(huì)在BC上，

分兩種情況討論：

（1）當(dāng)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'落在AB邊上時(shí)，

此時(shí)，MN⊥AB，即∠BNM=90°，

∵△ABC是等邊三角形，AB＝2，M是BC中點(diǎn)，

∴∠B=60°，BM=,

∴BN=BM=；

（2）當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'落在邊AC上時(shí)，

則MN⊥BB′，可得：四邊形BMB′N是菱形，

∴BN＝BM＝BC＝，

故答案為：或．

7.（2019·開(kāi)封二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在AB上．若將△DAP沿DP折疊，使點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線上的A′處，則AP的長(zhǎng)為　 ??　．

【答案】或.

【解析】解：矩形對(duì)角線有兩條，AC、BD，所以先以D為圓心以AD的長(zhǎng)為半徑作弧，與對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)即為A’點(diǎn)；再作出AA’的垂直平分線即為折痕；

（1）點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上時(shí)，

由AB＝4，BC＝3，得：BD＝5，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD＝A′D＝3，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，

∴BA′＝2，

設(shè)AP＝x，則BP＝4﹣x，

由勾股定理得：BP²＝BA′²+PA′²，

（4﹣x）²＝x²+2²，解得：x＝，

∴AP＝；

②點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：DP⊥AC，

易證：∠ACB=∠APD，

∴tan∠ACB= tan∠APD，

∴AP＝?=．

故答案為：或.

8.（2019·楓楊外國(guó)語(yǔ)三模）如圖，在?ABCD?中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)?E、F?分別是邊?AB、CD?上的動(dòng)點(diǎn)，將該四邊形沿折痕?EF?翻折，使點(diǎn)?A?落在邊?BC?的三等分點(diǎn)處，則?AE?的長(zhǎng)為? ．

【答案】或.

【解析】解：第一步確定落點(diǎn)，因?yàn)?/span>BC的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，所以分兩種情況討論，

第二步，確定落點(diǎn)后，畫出折痕EF，求解.

(1)如下圖所示

過(guò)點(diǎn)A’作A’H⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，

則∠A’BH=60°，

∵A’B=2，

∴BH=1，A’H=,

設(shè)AE=A’E=x，則BE=8－x，EH=9－x，

在Rt△A’EH中，由勾股定理得：

，解得：x=，

即AE=;

（2）如下圖所示，

過(guò)點(diǎn)A’作A’H⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，

則∠A’BH=60°，

∵A’B=4，

∴BH=2，A’H=2,

設(shè)AE=A’E=x，則BE=8－x，EH=10－x，

在Rt△A’EH中，由勾股定理得：

，解得：x=5.6，

即AE=5.6;

綜上所述，答案為：或5.6.

9.（2019·中原名校大聯(lián)考）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．連接BP，將△ABP沿直線BP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，如果點(diǎn)A′恰好落在正方形ABCD的對(duì)角線上，則AP的長(zhǎng)為???????．

【答案】.

【解析】解：由題意知，A’落在對(duì)角線BD上，連接A'D，

則B、A’、D在同一直線上，

∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B=1，

∴BD＝，

∴DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝﹣1，

由正方形性質(zhì)知，∠PDA’=∠A’PD=45°，

∴AP=A’P=A’D=﹣1，

故答案為：﹣1．

10.（2017·禹州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后端點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為　?????　．

【答案】(10,3).

【解析】解：∵四邊形A0CD為矩形，D（10，8），

∴AD=BC=10，DC=AB=8，

由折疊性質(zhì)知：AD=AF=10，DE=EF，

在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=6，

∴FC=4，

設(shè)EC=x，則DE=EF=8﹣x，

在Rt△CEF中，EF²=EC²+FC²，

即（8﹣x）²=x²+4²，解得x=3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），

故答案為：（10，3）．

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