專題05 正確分析函數(shù)圖象
【例1】（2019·鄭州一中模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿著D→A→B的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段CP的長(zhǎng)度y隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C.
【解析】解：由圖2知，AD=CD=2，當(dāng)x=2+
時(shí)，CP的長(zhǎng)最小，
即此時(shí)CP⊥AB，AP=
，由勾股定理得：CP=
,
由∠A=∠BCP，得：cos∠A= cos∠BCP，
即：
,
解得：BC=
,
故答案為：C.
【變式1-1】（2019·鄭州聯(lián)考）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，B，若其對(duì)稱軸為直線x＝2，則OB﹣OA的值為 ?? ．
【答案】4．
【解析】解：設(shè)A（x1，0），B（x2，0），x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，
∵拋物線的對(duì)稱軸是：x＝2，
∴﹣
＝2，
∴
＝﹣4，
由圖可知：x1＜0，x2＞0，
∴OB﹣OA＝x2﹣（﹣x1）
＝x2+x1
＝﹣
＝4，
故答案為：4．
【變式1-2】（2019·鄭州實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）如圖1，正方形ABCD在直角坐標(biāo)系中，其中AB邊在y軸上，其余各邊均與坐標(biāo)軸平行，直線l：y＝x﹣5沿y軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，在平移的過(guò)程中，該直線被正方形ABCD的邊所截得的線段長(zhǎng)為m，平移的時(shí)間為t（秒），m與t的函數(shù)圖象如圖2所示，則圖2中b的值為（ ???）
圖1 ?????????????????????圖2
A．3
B．5
C．6
D．10
【答案】C.
【解析】解：在y＝x﹣5中，當(dāng)y＝0時(shí)，?x＝5；當(dāng)x＝0，y＝﹣5，
∴直線y＝x﹣5與坐標(biāo)軸圍成的三角形為等腰直角三角形，
∴直線l與直線BD平行，?
由圖2可得，t＝3時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴AO＝5﹣3×1＝2，即A（﹣2，0），
t＝15時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴當(dāng)t＝9時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)B，D兩點(diǎn)，
∴AD＝6，
∴BD＝6
，即b＝6
，
故答案為：C．
【例2】（2019·開(kāi)封模擬）如圖，已知頂點(diǎn)為(-3，-6)的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，-4)，下列結(jié)論：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥-6；③若點(diǎn)(-2，m)，(-5，n)在拋物線上，則m＞n；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的兩根為-5和-1，其中正確的是__________．
【答案】①②④.
【解析】解：由圖象知，拋物線與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)，∴b2－4ac＞0，即①正確；
拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=－3時(shí)，y有最小值－6，即ax2+bx+c≥-6，故②正確；
拋物線的對(duì)稱軸為x=－3，點(diǎn)(-2，m)，(-5，n)在拋物線上，∴m<n，故③錯(cuò)誤；
由圖象知，當(dāng)x=－1時(shí)，y=－4，由對(duì)稱性可知，當(dāng)x=－5時(shí)，y=－4，故④正確；
綜上，答案為：①②④.
【變式2-1】（2018·信陽(yáng)一模）如圖是甲、乙兩車在某時(shí)段速度隨時(shí)間變化的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（?????）
A．乙前4秒行駛的路程為48米
B．在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米/秒
C．兩車到第3秒時(shí)行駛的路程相同
D．在4到8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度
【答案】C.
【解析】解：
根據(jù)圖象可得：
乙前4秒勻速運(yùn)動(dòng)，速度為12米/秒，行駛的路程為12×4=48米，故A正確；
0~8秒內(nèi)甲的速度是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，甲的速度每秒增加4米/秒，故B正確；
甲的速度與時(shí)間的關(guān)系為：v=4t，t=3時(shí)，v=12，即在t=3時(shí)，甲乙速度相等，在0~3秒時(shí)甲的速度小于乙的速度，故兩車行駛路程不相等，故C錯(cuò)誤；
在4至8秒內(nèi)甲的速度圖象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D正確；
故答案為：C．
【變式2-2】（2019·南陽(yáng)模擬）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對(duì)稱軸為x＝1，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（﹣1，0），則①二次函數(shù)的最大值為a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④當(dāng)y＞0時(shí)，﹣1＜x＜3．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ???）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B．
【解析】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為x＝1，且開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c，y取最大值，即二次函數(shù)的最大值為a+b+c，所以①正確；
②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＝0，所以②錯(cuò)誤；
③圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，?b2﹣4ac＞0，所以③錯(cuò)誤；
④∵圖象的對(duì)稱軸為x＝1，與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（﹣1，0），
∴A（3，0），
當(dāng)y＞0時(shí)，﹣1＜x＜3，所以④正確．
所以答案為：B．
【例3】（2019·河南中考仿真卷）如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，沿AB→BC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作FE⊥AE，交CD于F點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x，FC＝y，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，FC的最大長(zhǎng)度是
，則矩形ABCD的面積是（ ?。?/span>
A．
B．5 C．6 D．
【答案】B.
【解析】解：若點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖
∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠CFE＝∠AEB，
∴△CFE∽△BEA，
∴
，
當(dāng)E在BC中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值，BE＝CE＝x﹣
，
即
，
∴BE＝CE＝1，
∴BC＝2，AB＝
，
∴矩形ABCD的面積為2×
＝5；
故答案為：B．
【變式3-1】（2019·三門(mén)峽二模）如圖1，則等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn)，且∠APD＝60°，PD交AC于點(diǎn)D，設(shè)線段PB的長(zhǎng)度為x，CD的長(zhǎng)度為y，若y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖2，則等邊三角形ABC的面積為????????．
【答案】
．
【解析】解：由題可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴
，
設(shè)AB＝a，則
，
∴y＝
=
，
當(dāng)x＝
a時(shí)，y取得最大值2，可得：a=8，
即等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，
∴S＝
×82＝
．
故答案為：
．
【變式3-2】（2019·商丘二模）如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，按A→B→C→D的順序在邊上勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PAD的面積為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，△APD的面積為（ ???）
圖1 ????????????????????????????????圖2
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B．
【解析】解：根據(jù)題意得：四邊形ABCD是梯形，AB+BC＝6，CD＝4，
AD×CD＝8，得：AD＝4，
∵
AD×AB＝2，
∴AB＝1，
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，△APD的高為
（AB+CD）＝
，
∴△PAD的面積＝
×
×4＝5；
所以答案為：B．
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