專題02 折疊與圖形存在性

【例1】（2019·鄭州外國語模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，CD是△ABC的中線，E是邊BC上一動點，將△BED沿ED折疊，點B落在點F處，EF交線段CD于G，當△DFG是直角三角形時，則CE= .

【答案】1，.

【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=2,

由折疊性質知∠F=∠B≠90°，

分兩種情況討論，

（1）當∠FDG=90°時，

∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點，

∴CD=BD=AD=，

∴∠B=∠DCE=∠F，

∵∠DCE+∠GEC=∠F+∠FDG，

∴∠GEC=90°，

在Rt△DFG中，tan∠F=，

∴DG=，

∴CG=CD－DG=，

在Rt△CEG中，CE=CG·cos∠GCE=×=1；

（2）當∠FGD=90°時，

由（1）知∠B=∠F=∠DCB，

由BD=DF=，

∴DG=DF·sin∠F=×=1，

∴CG=CD－DG=－1，

∴CE=CG÷cos∠DCB=（－1）÷=，

故答案為：1，.

【變式1-1】（2018·洛陽三模）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=8，點P為線段AB上一動點，過點P作PE⊥AB交直線AD于E，沿PE將∠A折疊，點A的對稱點為點F，連接EF、DF、CF，當△CDF是直角三角形時，AP= .

【答案】或.

【解析】解：①如圖，當DF⊥AB時，△CDF是直角三角形，

∵在菱形ABCD中，AB=8，

∴CD=AD=AB=8，

在Rt△ADF中，AD=8，∠DAN=45°，DF=AF=4，

∴AP=2；

②如圖，當CF⊥AB時，△DCF是直角三角形，

在Rt△CBF中，∠CFB=90°，∠CBF=∠A=45°，BC=8，

∴BF=CF=4，

∴AF=AB+BF=8+4，

∴AP=AF=4+2，

故答案為：4或4+2．

【例2】（2019·河南南陽一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點E在邊BC上，將△DEC沿DE翻折后，點C落在點C’處. 若△ABC’是等腰三角形，則CE的長為 .

【分析】根據(jù)△ABC’是等腰三角形，分①AB=AC’=2；②AC’=BC’，即C’落在AB的垂直平分線上時；③AB=BC’=2，三種情況討論，逐一作出圖形求解即可.

【答案】2或.

【解析】解：分三種情況討論：

①AB=AC’=2，如圖所示，

可得：四邊形CDC’E是正方形，即CE=2；

②AC’=BC’，即C’落在AB的垂直平分線MN上時，如圖所示，

∴DM=1，C’D=2，

∴∠C’DM=30°，

即得：∠C’DC=60°，∠EDC=30°，

∴CE=CD·tan∠EDC

=2×

=；

③AB=BC’=2，

此時作出C’的運動軌跡，及以B為圓心，2為半徑的圓，發(fā)現(xiàn)二者不相交，如圖所示，

即此種情況不存在；

綜上所述，答案為：2或.

【變式2-1】（2019·鄭州外外國語測試）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC≤BC，將△ABC沿EF折疊，使點A落在直角邊BC上的D點，設EF與AB、AC分別交于點E、F，如果折疊后△CDF和△BDE均為等腰三角形，那么∠B= .

【答案】45°或30°.

【解析】解：若△CDF是等腰三角形，∵∠C=90°，

∴∠CDF=∠CFD=45°，

由折疊性質知，∠A=∠FDE，∠B=∠EFD，

若△BDE是等腰三角形，則：

（1）若DE=BD，設∠B=∠DEB=x°，則∠A=∠FDE=90－x，

∵∠CDE=∠B+∠DEB，

∴45+90－x=x+x，解得：x=45，

即∠B=45°，

（2）若DE=BE，

∠CDE=180°－∠BDE=180°－∠B，

∠CDE?=45°+∠FDE=45°+∠A=45°+90°－∠B=135°－∠B，

∴不符合題意，

（3）若BD=BE，設∠B=x，則∠BDE=∠BED=90°－x，

∠CDE?=45°+∠A=135°－x，

∠CDE?=∠B+∠DEB=90°+x，

∴135°－x=90°+x，解得：x=30，

即∠B=30°，

綜上所述，∠B的度數(shù)為：45°或30°.

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