高考數(shù) 學(xué)壓軸題 集合
1．（本小題滿分14分）
如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋 物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).
（1）求△APB的重心G的軌 跡方程.
（2）證明∠PFA=∠PFB.
解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，
∴切線AP的方程為：
??切線BP的方程為：
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：
所以△APB 的重心G的坐標(biāo)為 ，

所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：

???（2）方 法1：因?yàn)?/span>
由于P點(diǎn)在 拋物線外，則
∴
同理 有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：
即
所以P點(diǎn)到 直線BF的距離為：
所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.
②當(dāng)時(shí)，直線 AF的方程：
直線BF的方程：
所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：
，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.
2．（本小題滿分12分）
設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
???（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；
（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.
????????（此題不要求在答題卡上畫圖）
本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問題的能力.
???（Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 ??①
????設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，
????∴???②
????且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得
?????
????解得k=－1，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）.
????于是，直線AB的方程為
????解法2：設(shè)則有
????
????依題意，
∵N（1，3）是AB的中點(diǎn)， ?∴
又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，∴
∴的取值范圍是（12，+∞）.
直線AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
???（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入橢圓方程，整理得 ??
又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根，
∴
于是由弦長(zhǎng)公式可得 ???④
將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得??⑤
同理可得 ???⑥
∵當(dāng)時(shí)，
假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.
點(diǎn)M到直線AB的距離為 ??⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故當(dāng)>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上.
???（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）
A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|²=|CN|·|DN|，
即 ???⑧
由⑥式知，⑧式左邊
由④和⑦知，⑧式右邊
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得
???③
將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得
??⑤
解③和⑤式可得 ??
不妨設(shè)
∴

計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.
又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）

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