如果你在上海讀過(guò)高中，可能就曾經(jīng)膜拜過(guò)上海中學(xué)的題目——數(shù)學(xué)題目。上海中學(xué)的老師是如何命題的？
本文作者況亦軍為上海市數(shù)學(xué)特級(jí)教師，上海中學(xué)數(shù)學(xué)教研組組長(zhǎng)?？纯礇r老師是怎么說(shuō)的吧！
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要做習(xí)題，通常人們對(duì)此并無(wú)疑義。
縱觀學(xué)生做題，拉到籃里就是菜，不論什么題，不管有沒(méi)有學(xué)習(xí)價(jià)值，做了再說(shuō)，這是教學(xué)中屢見(jiàn)不鮮的現(xiàn)象。
上世紀(jì)70年代末我自己讀中學(xué)的時(shí)候，見(jiàn)到題就做，實(shí)在是出于無(wú)奈，那時(shí)國(guó)家剛剛走出陰霾，百?gòu)U待興，能得到一兩本參考書，能找到一些題來(lái)練習(xí)，那就不錯(cuò)了。
隨著社會(huì)的發(fā)展，我們的教育水平有了本質(zhì)性的提高，從一個(gè)方面講，現(xiàn)在可供學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)從廣度到深度以及選擇性都是三十多年前無(wú)法想象的，但是從另一個(gè)方面講，我們又創(chuàng)造了“題?！边@樣一個(gè)名詞。
經(jīng)過(guò)三十多年的積累，數(shù)學(xué)教育有了極為豐富的資源，有了近乎取之不盡的習(xí)題，于是，學(xué)生還是免不了拉到籃里就是菜，因?yàn)閷?shí)在太豐富了。
要讓學(xué)生得到對(duì)其自身發(fā)展最有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，這不是學(xué)生的能力所在，甚至許多數(shù)學(xué)教師對(duì)此都多有困惑。常有年輕的老師問(wèn)我：“況老師，你是以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選題目的？”
當(dāng)下中國(guó)的基礎(chǔ)教育，學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)是全社會(huì)共同擔(dān)憂的問(wèn)題，身在基層第一線的學(xué)校教師，面對(duì)背景如此復(fù)雜的社會(huì)問(wèn)題，總不免無(wú)可奈何。但是話說(shuō)回來(lái)，教師工作又是一種可以呈現(xiàn)出某種個(gè)性特征的工作，所謂“三尺講臺(tái)就是一畝三分自留地”，如果教師具有高超的教育智慧，那么學(xué)生在一個(gè)特定的小環(huán)境中自然可以有別樣的收獲。
把“學(xué)生還學(xué)得不夠快樂(lè)”這樣的問(wèn)題裝在心里，在教育教學(xué)過(guò)程中時(shí)時(shí)想著，對(duì)于改善自己的教學(xué)行為，總是有好處的。
我從教三十多年，編制過(guò)的試卷難以盡計(jì)，也設(shè)計(jì)過(guò)不少數(shù)學(xué)習(xí)題，總之，數(shù)學(xué)“題海”中有幾滴水是從我的手里流出來(lái)的。
盡管時(shí)不時(shí)出現(xiàn)“心狠手辣”的偏差，但總體上說(shuō)，我覺(jué)得自己還是能做到“慈悲為懷”的，至少我有信心說(shuō)，如果有合理的思考時(shí)間，編制一份“既好看又好吃”的數(shù)學(xué)試卷，我還是比較有把握做到的。
所謂“好看”，那就是有一些小小的創(chuàng)新，有一點(diǎn)新意，使得核心基礎(chǔ)知識(shí)?？汲Ｐ拢瑢W(xué)生能夠通過(guò)解題得到新的學(xué)習(xí)感悟。
所謂“好吃”，就是能夠?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生所接受，使得大部分學(xué)生能夠比較充分地展現(xiàn)其學(xué)習(xí)水平，獲得進(jìn)一步發(fā)展的信心和動(dòng)力。
“既好看又好吃”是一種通俗而直白的表達(dá)，換句話說(shuō)，一份好的數(shù)學(xué)試卷，一道好的數(shù)學(xué)習(xí)題，應(yīng)當(dāng)有“出乎意料之外，卻在情理之中”的意境?！俺龊跻饬现狻痹炀汀昂每础钡木?，“卻在情理之中”保證“好吃”的實(shí)在。
在上海中學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)練習(xí)卷是由備課組的教師輪流命制的，猜測(cè)是誰(shuí)出的題目，在試卷偏難的時(shí)候找命題老師訴苦申冤，經(jīng)常是飯后茶余師生交流的話題。
有的時(shí)候，學(xué)生做完練習(xí)就會(huì)說(shuō):“這份卷子是況亦軍老師出的，因?yàn)樗謥?lái)玩‘請(qǐng)用兩種方法??’的把戲?！边@的確是近年來(lái)我在命題設(shè)計(jì)中經(jīng)常使用的一種題型，其他教師很少采用，以至于成了某種標(biāo)記。
記得有一次考試，我出了一道試題——請(qǐng)用兩種方法證明點(diǎn)到直線的距離公式。
考試結(jié)束以后，有相當(dāng)一部分平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不錯(cuò)的學(xué)生覺(jué)得十分郁悶，因?yàn)樗麄冎荒苷业揭环N方法。這種方法見(jiàn)諸課本，自然是情理之中，但要用另一種方法，課本上沒(méi)有，上課也不曾提及，似乎在意料之外。但是經(jīng)過(guò)與給出另一種證明方法的同學(xué)交流，他們發(fā)現(xiàn)另一種方法所涉及的，都是解析幾何的核心知識(shí)，包括直線方程、兩直線垂直的條件、用行列式解線性方程組、兩點(diǎn)間距離公式，而串聯(lián)這些知識(shí)點(diǎn)的靈魂，則是點(diǎn)到直線距離的概念。
因此，解決意料之外問(wèn)題的知識(shí)和能力的要求，都回到了情理之中。
而且，我在講評(píng)時(shí)進(jìn)一步指出，這樣的問(wèn)題不僅是著眼于更為靈活地綜合運(yùn)用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，更為重要的是通過(guò)這樣的問(wèn)題讓大家得到一種感悟：世界上有許多問(wèn)題并不一定是由是非對(duì)錯(cuò)、優(yōu)劣高下來(lái)評(píng)價(jià)的，只是觀察問(wèn)題的視角不同，因而處理問(wèn)題的方法不同，正因?yàn)槿绱?，我們的世界才是豐富多彩的。
這樣的學(xué)習(xí)素材，應(yīng)該會(huì)對(duì)學(xué)生正確的世界觀的形成產(chǎn)生積極的影響。
在數(shù)學(xué)教育中始終謹(jǐn)記“卻在情理之中”數(shù)學(xué)教師大多熱愛(ài)數(shù)學(xué)，嘆服其中人類思維的無(wú)限智慧，因此，數(shù)學(xué)教師總是希望向?qū)W生更多地展示數(shù)學(xué)的魅力。
在上海中學(xué)當(dāng)數(shù)學(xué)教師，每天面對(duì)著一大批對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿著渴望的優(yōu)秀學(xué)生，為他們提供更多的難度更高的智慧挑戰(zhàn)。在上海中學(xué)的師生之間，有時(shí)就像貓捉老鼠的游戲，老鼠總有辦法對(duì)付貓，貓也總能想出主意來(lái)為難老鼠。老師與學(xué)生似乎總是樂(lè)此不疲。
因此，做到“出乎意料之外”，這幾乎是數(shù)學(xué)教師內(nèi)心深處天賦的潛意識(shí)，它會(huì)或自覺(jué)或不自覺(jué)地轉(zhuǎn)化成顯現(xiàn)的教學(xué)行為，特別是在為自己的某個(gè)小花招暗自得意的時(shí)候，“卻在情理之中”便從自己的視野中消失了。
當(dāng)然，產(chǎn)生這種狀況的另一個(gè)原因，可能是因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)教師都是數(shù)學(xué)專業(yè)出身，在成為教師之前，對(duì)于數(shù)學(xué)本身有很多的感悟，而對(duì)于教育則少有切身的感受。
因此，認(rèn)真考慮數(shù)學(xué)與教育，特別是數(shù)學(xué)與基礎(chǔ)教育的關(guān)系，可能是一名數(shù)學(xué)教師從合格走向優(yōu)秀的過(guò)程中不可回避的問(wèn)題。
在數(shù)學(xué)教育中我們要能夠始終謹(jǐn)記“卻在情理之中”，要更多地從教育的角度去思考學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的和價(jià)值。
在當(dāng)下，讓學(xué)生適度學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中獲得那些終身有益的感悟，少一些可有可無(wú)的智慧挑戰(zhàn)，為學(xué)生的自主發(fā)展而不是在教師手把手的扶持下成長(zhǎng)騰出一點(diǎn)時(shí)間和空間，只要有此心意并化作自己的行動(dòng)，那就是為破解學(xué)生、教師、家長(zhǎng)乃至整個(gè)社會(huì)都為之苦惱的“孩子是最辛苦的人”這一困局所作的努力。
要做到“卻在情理之中”，可能需要一個(gè)對(duì)于數(shù)學(xué)的基本認(rèn)識(shí)作為基礎(chǔ)，即作為科學(xué)的數(shù)學(xué)與作為教育的數(shù)學(xué)并不是完全等同的。
作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，只要是一個(gè)自洽的邏輯系統(tǒng)就可以成立了，它的可讀性、它的實(shí)際意義等等都可以不作考慮。然而，作為教育的數(shù)學(xué)，必須要考慮與之緊密相連的受教育對(duì)象的可接受性。
例如，作為純數(shù)學(xué)的歐氏幾何，其出發(fā)點(diǎn)是由五條公理形成的公理體系，歐氏幾何的所有結(jié)論都是這五條公理的邏輯推演的結(jié)果，這樣的幾何知識(shí)體系是中小學(xué)學(xué)生完全無(wú)法接受的，因此，中小學(xué)的平面幾何知識(shí)必須對(duì)公理體系作適當(dāng)?shù)臄U(kuò)充。
所以，作為一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)經(jīng)常提醒自己，并不是所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都是適合學(xué)生學(xué)習(xí)的，一定要學(xué)會(huì)忍痛割愛(ài)，經(jīng)常要想一想，是不是一定要把自己情有獨(dú)鐘的數(shù)學(xué)內(nèi)容都化作對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，否則，我們就有可能成為一名眼睛里只有數(shù)學(xué)而沒(méi)有學(xué)生的對(duì)于教育缺少足夠理解的教書匠。
深入研究與數(shù)學(xué)教育相關(guān)的材料是“卻在情理之中”的重要保證。
認(rèn)真研讀教材以及課程標(biāo)準(zhǔn)是研究教育對(duì)象的一個(gè)十分重要的切入點(diǎn)，因?yàn)檎n程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的選擇以及教學(xué)要求的規(guī)定，是對(duì)于受教育對(duì)象的認(rèn)知水平的抽象概括，超出了課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容可能是學(xué)生無(wú)法接受的，也可能對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成并非是必須的；而教材則是數(shù)學(xué)教育工作者借助長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)積累對(duì)本源數(shù)學(xué)知識(shí)按可接受性標(biāo)準(zhǔn)加以改造的智慧結(jié)晶。
因此，在教學(xué)中做到心中有標(biāo)準(zhǔn)，心中有教材，是教師隨心所欲而不逾矩的力量源泉。
這種對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)和教材的關(guān)注，不僅僅是作用于諸如習(xí)題試卷等等直觀呈現(xiàn)的教學(xué)素材，更要通過(guò)教師對(duì)于教育過(guò)程的“空間想象能力”來(lái)判斷整個(gè)教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生的要求是否都是合乎情理的。
例如，有不少數(shù)學(xué)試題或習(xí)題其呈現(xiàn)給學(xué)生的問(wèn)題是完全符合課程標(biāo)準(zhǔn)和教材設(shè)定的教學(xué)要求的，但是，其解決過(guò)程卻包含著不可回避的所謂“超綱”的內(nèi)容。
因此，缺少對(duì)于尚未發(fā)生的整個(gè)教學(xué)過(guò)程的準(zhǔn)確而精細(xì)的想象，由此造成在教學(xué)過(guò)程中形成對(duì)學(xué)生不近情理的要求就會(huì)變成一種十分自然的事情。
當(dāng)然，對(duì)于課程標(biāo)準(zhǔn)和教材等教育基本要素的關(guān)注仍然只是做到“卻在情理之中”的一部分，因?yàn)橹辽龠€有一個(gè)影響教育效果的重要因素是課程標(biāo)準(zhǔn)和教材難以描述和界定的，那就是學(xué)生的認(rèn)知能力。
曾經(jīng)有這樣一種教育觀點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的知識(shí)可以求解的問(wèn)題就是不超綱的。但是，知識(shí)不超綱而學(xué)生完全不能承受的數(shù)學(xué)試題和試卷比比皆是，出現(xiàn)這種情況其背后的原因可能就是教師在進(jìn)行教育設(shè)計(jì)時(shí)完全無(wú)視學(xué)生的能力水平對(duì)教育效果的影響。
例如，在進(jìn)行元素全部都是整數(shù)而且數(shù)值不大的三階行列式計(jì)算時(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤率還是比較高的，這可能是因?yàn)?，一個(gè)三階行列式計(jì)算至少有17次算術(shù)運(yùn)算，要保證連續(xù)進(jìn)行17次運(yùn)算每次都不出錯(cuò)，對(duì)某些學(xué)生而言可能是不可企及的運(yùn)算能力要求。
因此，數(shù)學(xué)教師一定要高度重視解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題其整個(gè)過(guò)程對(duì)于數(shù)學(xué)能力的要求，有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程拆開(kāi)來(lái)看每一步都是符合課程標(biāo)準(zhǔn)的，其中的能力要求也是學(xué)生可以達(dá)到的，但是，所有解題要求合成為冗長(zhǎng)的解決問(wèn)題的過(guò)程，其復(fù)雜程度就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生的控制能力，從而形成一個(gè)整體效果不理想的教學(xué)行為。
課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書以及對(duì)于學(xué)生認(rèn)知能力的經(jīng)驗(yàn)，都是“作為教育的數(shù)學(xué)”的組成部分，它們都是對(duì)“作為教育的數(shù)學(xué)”的作用對(duì)象——學(xué)生的描述，是數(shù)學(xué)教師實(shí)現(xiàn)“卻在情理之中”的理論背景，但是這些東西都是抽象的，不是活生生的人。
事實(shí)上，“卻在情理之中”的實(shí)現(xiàn)，是與真實(shí)的教育對(duì)象密切相關(guān)的。
同一個(gè)學(xué)習(xí)要求，對(duì)學(xué)生甲是恰如其分的，但學(xué)生乙可能會(huì)被認(rèn)為是藐視他的學(xué)習(xí)水平，而對(duì)學(xué)生丙則可能是天方夜譚。
隨著關(guān)于教育公平的各種措施的實(shí)施，不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生同在一個(gè)課堂是一種必然的狀態(tài)，只有心中永遠(yuǎn)裝著每一個(gè)鮮活的孩子，不斷調(diào)整教學(xué)策略，“卻在情理之中”才能成為現(xiàn)實(shí)。
作為一名教師，心中至少要裝下所有面對(duì)的幾十位學(xué)生；作為一名學(xué)校的骨干教師，心中所裝的那就是成百而近千的學(xué)生；而作為一名有區(qū)域引領(lǐng)作為的學(xué)術(shù)領(lǐng)頭人，就需要將數(shù)以千計(jì)甚至萬(wàn)計(jì)乃至十萬(wàn)計(jì)的學(xué)生各種可能的行為進(jìn)入自己的心靈，這個(gè)時(shí)候，做到“卻在情理之中”將是一種教學(xué)平常。
本文選自《上海教育》2015年12B。更多內(nèi)容，請(qǐng)參考雜志。
?? ?