專(zhuān)題19 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何圖形綜合題型

題型一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何圖形最值問(wèn)題

主要有：線段最值；點(diǎn)到直線距離的最值；周長(zhǎng)最值；面積最值等等.

題型二、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何問(wèn)題相結(jié)合

主要有：相似三角形的存在性；角平分線存在性；角度間的關(guān)系問(wèn)題；面積關(guān)系問(wèn)題等等.

【例1】（2018·河南第一次大聯(lián)考）如圖，將矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使點(diǎn)M，N分別在AB，AD邊上滑動(dòng)，若MN=6，PN=4，在滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A與點(diǎn)P的距離AP的最大值為( ).

A．4 B．2 C．7 D．8

【答案】D.

【分析】如圖所示，取MN中點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)A、E、P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半分別求出PE與AE的長(zhǎng)，由AE+EP求出AP的最大值即可．

【解析】解：如圖所示，取MN中點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)A、E、P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，

在Rt△PNE中，PN=4，NE=MN=3，

根據(jù)勾股定理得：PE=5，

在Rt△AMN中，AE為斜邊MN上的中線，

∴AE=MN=3，

則AP的最大值為：AE+PE=3+5=8，

故選D．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．

【變式1-1】（2019·濟(jì)源一模）如圖，△ABC 是等邊三角形，AB=3，E 在 AC 上且 AE=AC，D 是直線 BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段 ED 繞點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 EF，當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)時(shí)， 則線段 AF 的最小值是? ??????.

【答案】.

【解析】解：先確定F點(diǎn)的軌跡，

過(guò)E作的直線BC的平行線，分別過(guò)D、F作該平行線的垂線，垂足為G，H，

如圖所示，

由折疊性質(zhì)，知△DEG≌△EFH，

∴EH=DG，

∵△ABC是等邊三角形，AE=2，CE=1，

∴DG=CE·sin60°=，

即EH為定值，

∴點(diǎn)F落在直線FH上，且FH⊥BC，

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AF⊥FH時(shí)，AF的值最小，

如下圖所示，過(guò)A作AN⊥FH，延長(zhǎng)AC交FH于點(diǎn)M，

AN的長(zhǎng)即為所求線段AF的最小值，

∵EH=DG=，∠AMN=30°，

∴EM=2EH=，

∴AM=+2，

∴AN=AM=，

故答案為：.

【例2】（2019·開(kāi)封二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣4與拋物線y＝x²+bx+c交于坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)A、C，拋物線與x軸另一交點(diǎn)為點(diǎn)B；

（1）求拋物線解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)D在直線AC下方的拋物線上，如圖2，作DM⊥直線AC，垂足為點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)D，使△CDM中某個(gè)角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

圖1 ???????????????圖2

【答案】見(jiàn)解析．

【解析】解：（1）在y＝x﹣4中，

當(dāng)x＝0，?y＝﹣4，即C（0，﹣4）；

當(dāng)y＝0，?x＝3，即A（3，0）；

把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入y＝x²+bx+c，

并解得：b=，c=－4，

∴拋物線解析式為：y＝x²x－4；

（2）存在，

作∠ACO的平分線CP交x軸于點(diǎn)P，過(guò)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，

則CH＝CO＝4，OP＝PH，

設(shè)OP＝PH＝x，則PA＝3﹣x，

∵OC＝4，OA＝3，

∴AC＝5，AH＝1，

在Rt△PHA中，PH²+AH²＝AP²，

即x²+1²＝（3﹣x）²，

解得：x＝，

∴tan∠PCH＝tan∠PCO=，

①過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)M作ME∥x軸，與y軸交于點(diǎn)E，與DG交于點(diǎn)F．

設(shè)M（m，m﹣4），則ME＝m，FG＝OE＝4﹣m，CE＝m，

可得：△CEM∽△MFD，

①當(dāng)∠DCM=∠ACO時(shí)，

可得：，

即MF=m，DF=m，

∴DG=DF+GF=m+4﹣m=4－m，EF=EM+FM=m，

即點(diǎn)D(m, m－4)，將其坐標(biāo)代入y＝x²x－4得：

，

解得：m=0（舍）或m=，

∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：m=.

②當(dāng)∠MDC＝∠ACO＝∠PCH時(shí)，

同理可得：

MF＝4m，DF＝3m，

∴EF＝EM+MF＝m+4m＝5m，

DG＝DF+FG＝3m﹣m+4＝m+4，

∴D（5m，﹣m﹣4），

∴﹣m﹣4=，

解得m＝0（舍去）或m＝,

此時(shí)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：5m=；

綜上所述，點(diǎn)D橫坐標(biāo)為或．

【變式2-1】（2019·洛陽(yáng)模擬）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（9，10），AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形AECP的最大面積；

（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）將A(0,1)，B（9,10）代入y=x²+bx+c得：

，解得：

∴拋物線的解析式為：y=x²－2x+1.

（2）由y=x²－2x+1知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=3，

∵AC∥x軸，A(0,1)，

∴A與C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，C(6,0)，AC=6

由A(0,1),B(9,10)得直線AB的解析式為：y=x+1，

設(shè)P（m，m²－2m+1），則E(m，m+1)，

∴PE=－m²+3m，

∴S_{四邊形AECP}=S_△AEC+S_△APC

=·AC·EF+·AC·PF

=×6×（－m²+3m）

=，

∴當(dāng)m=時(shí)，四邊形AECP的面積取最大值，此時(shí)點(diǎn)P(，).

（3）存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（4,1）或（－3,1）.

由y=x²－2x+1知點(diǎn)P(3, -2)，

∴PF=3，CF=3，

∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°，

即∠PCF=∠EAF，

由勾股定理得：AB=，AC=6，PC=，

設(shè)Q（n，1），

①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí)，，

即，解得：t=4，

即Q(4,1).

②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí)，，

即，解得：t=－3，

即Q(－3,1).

綜上所述，符合題意的點(diǎn)Q坐標(biāo)為：(4,1)或(－3,1).

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