專題18 利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質及新題型

題型一、利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質

第一步：確定函數(shù)自變量取值范圍；

第二步：列表、描點、連線；

第三步：根據(jù)函數(shù)圖象解答相關題目.

題型二、定義新題型

提出一些新穎的概念，根據(jù)概念解答相關題型.

【例1】（2019·開封模擬）參照學習函數(shù)的過程與方法，探究函數(shù)（x≠0）的圖象與性質．

因為，即，所以我們對比函數(shù)來探究．

列表：

描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點，如圖所示：

（1）請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用一條光滑曲線順次連接起來．

（2）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當x＜0時，y隨x的增大而__________；（填“增大”或“減小”）

②的圖象是由的圖象向_______平移______個單位而得到；

③圖象關于點__________中心對稱．（填點的坐標）

（3）函數(shù)與直線y=-2x+1交于點A，B，求△AOB的面積．

【答案】（1）見解析；（2）增大；上，1；（0,1）；（3）見解析.

【解析】解：（1）如圖所示；

（2）①增大；②上，1；③（0,1）；

（3）聯(lián)立：與直線y=-2x+1，

解得：x=1，y=－1或x=－1，y=3，

∴S_△AOB=×2×4－×1×4－×2×1=1.

【變式1-1】（2019·鄭州模擬）探究函數(shù)的圖象與性質

（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ；

（2）下列四個函數(shù)圖象中可能是函數(shù)的圖象的是

（3）對于函數(shù)，當x>0時，求y的取值范圍.

解：∵x>0，

∴==+ ，

∵≥0，

∴y≥ .

拓展運用

（4）若函數(shù)，則y的取值范圍是 .

【答案】（1）x≠0；（2）C；（3）4，4；（4）y≥1或y≤－11.

【解析】解：（1）由分式的意義，知x≠0；

（2）∵x≠0，

∴A錯誤；

當x>0時，y>0，故B、D錯誤，

∴選項C正確；

（3）4；4；

（4）當x>0時，==

∵≥0，

∴y≥1；

當x<0時，

=

=，

∵≤0

∴y≤－11；

綜上所述，y≥1或y≤－11.

【例2】（2018·洛陽三模）在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax－a為拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢想直線”. 有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．

已知拋物線與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C．

（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為 ，點A的坐標為 ，點B的標為 ；

（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標；

（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1），(－2，)，（1，0）；（2）（3）見解析.

【解析】解：（1）拋物線，由定義知：

其夢想直線的解析式為：，

聯(lián)立，，解得：

或，

故答案為：，(－2，)，（1，0）.

（2）由題意知C(－3,0)，過A作AG⊥y軸于G，

①當點N在y軸上時，△AMN是夢想三角形，

AC=AN=，

由拋物線的對稱軸x=－1，A(－2，)，得：AG=2，G(0，)，

在Rt△ANG中，由勾股定理得：

GN=3，

∴N(0,+3)或(0,－3)，

當ON=+3時，則MN＞OG＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，

∴N(0,－3)，

②當點M在y軸上時，△AMN為夢想三角形，

即M點在坐標原點，M(0,0)，

在Rt△AGM中， AG=2，GM=，tan∠AMG=，

∴∠AMG=30°，

∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°，

過點N作NP⊥x軸，

在Rt△NMP中，MN=CM=3，

∴NP=，OP=，即N(,),

綜上所述，點N的坐標為(0,－3)，(,).

（3）設E(－1，m),F(n，)，

∵A(－2，)，C(－3,0)，

①當四邊形ACEF是平行四邊形時，有：

，

解得：，

即E(－1，)，F(0，)；

②當四邊形AECF是平行四邊形時，有：

，

解得：，

即E(－1，)，F(－4，)；

③當四邊形AEFC是平行四邊形時，有：

，

解得：，

此時F與A重合，不符題意，舍去；

綜上所述，E(－1，)，F(－4，)或E(－1，)，F(0，).

【變式2-1】（2019·安陽一模）如果一條拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，[a，b，c]稱為“拋物線系數(shù)”．

（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是?????（填“真”或“假”）命題；

（2）若一條拋物線系數(shù)為[1，0，﹣2]，則其“拋物線三角形”的面積為???????；

（3）若一條拋物線系數(shù)為[﹣1，2b，0]，其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式；

（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，在拋物線上是否存在一點P，過P作PQ⊥x軸于點Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P點坐標；如果不存在，請說明理由．

【答案】（1）假；（2）；（3）（4）見解析．

【解析】解：（1）∵拋物線與x軸的交點個數(shù)有三種情況：沒交點，一個交點，兩個交點，

∴任意拋物線都有“拋物線三角形”是假命題，

故答案為：假；

（2）∵一條拋物線系數(shù)為[1，0，﹣2]，

∴a＝1，b＝0，c＝﹣2，

∴拋物線解析式為y＝x²﹣2，

當x＝0，y＝﹣2，

當y＝0，解得，x＝，

∴“拋物線三角形”的面積為×（+）×2＝2

故答案為：2.

（3）由題意得：拋物線解析式為：y＝﹣x²+2bx，

與x軸交點為：（0，0），（2b，0）；

若“拋物線三角形”是個直角三角形，則是等腰直角三角形，

∴頂點為（b，b）或（b，﹣b），

①當頂點為（b，b）時，

有：b＝﹣b²+2b²，

解得b＝0（舍去）或b＝1

∴y＝﹣x²+2x，

②當頂點為（b，﹣b）時，

有：﹣b＝﹣b²+2b²，

解得b＝0（舍去）或b＝﹣1

∴y＝﹣x²﹣2x，

（4）∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ為等腰直角三角形，

①y＝﹣x²+2x，

設P（a，﹣a²+2a），

則Q（a，0）

則|﹣a²+2a|＝|2﹣a|，

解得：a＝1（舍）或a＝2（舍去）或a=－1，

∴P（﹣1，﹣3）；

②y＝﹣x²﹣2x，

同理得：P（1，3）；

綜上所述，點P（﹣1，﹣3）或（1，3）．

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