專題17 ?函數(shù)動點問題中平行四邊形存在性

類型一、平行四邊形存在性

結(jié)論：

類型二、特殊平行四邊形存在性

1. 矩形存在性

常用解題思路：構(gòu)造一線三直角（借助相似或三角函數(shù)求解）；利用矩形對角線相等（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）借助勾股定理求解等.

2. 菱形存在性

常用解題思路：利用菱形四條邊相等，對角線互相垂直，借助勾股定理等求解.

3. 正方形存在性

常用解題思路：兼具矩形和菱形二者.

【例1】（2018·鄭州預(yù)測卷）如圖，直線y=與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=經(jīng)過B、C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一個動點，當(dāng)△BEC的面積最大時，求出點E的坐標和最大值；

（3）在（2）條件下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使以點P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）∵直線y=與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴B(0,3)，C(4,0)，

將B(0,3)，C(4,0)代入y=?得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：.

（2）過點E作EF⊥x軸于F，交BC于M，

設(shè)E（x，），則M（x，），

∴ME=－（）=

∴S_△BEC=×EM×OC

=2EM

=2()

=,

∴當(dāng)x=2時，△BEC的面積取最大值3，此時E(2，3).

（3）由題意得：M(2，)，拋物線對稱軸為：x=1，A(－2,0),

設(shè)P(m，y)，y=，Q(1，n)

①當(dāng)四邊形APQM為平行四邊形時，

有：，解得：m=－3，

即P(－3，)；

②當(dāng)四邊形AMPQ為平行四邊形時，

有：－2+m=2+1，即m=5

即P(5,?)；

③當(dāng)四邊形AQMP為平行四邊形時，

有：2－2=1+m，得：m=－1，

即P(－1，)；

綜上所述，拋物線上存在點P，使以點P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標為：(－3，)，(5,?)，(－1，).

【變式1-1】（2018·河師大附中模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A(－1，0)、B(3，0)兩點，與y軸交于點C(0，－3).

（1）求拋物線的解析式與頂點M的坐標；

（2）求△BCM的面積與△ABC面積的比；

（3）若P是x軸上一個動點，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q，隨著P點的運動，在x軸上是否存在這樣的點P，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）將A(－1，0)，B(3，0)， C(0，－3)代入y=ax²+bx+c，得：

，

解得：a=1，b=－2，c=－3，

即拋物線的解析式為：y=x²－2x－3，頂點M的坐標為：（1，－4）；

（2）連接BC，BM，CM，過M作MD⊥x軸于D，如圖所示，

S_△BCM=S_梯形ODMC+S_△BDM－S_△BOC=3，

S_△ACB=6，

∴S_△BCM：S_△ACB=1：2；

（3）存在.

①當(dāng)點Q在x軸上方時，過Q作QF⊥x軸于F，如圖所示，

∵四邊形ACPQ為平行四邊形，

∴QP∥AC，QP=AC

∴△PFQ≌△AOC，

∴FQ=OC=3，

∴3=x²﹣2x﹣3，

解得 x=1+或x=1﹣，

∴Q(1+，3)或(1﹣，3)；

②當(dāng)點Q在x軸下方時，過Q作QE⊥x軸于E，如圖所示，

同理，得：

△PEQ≌△AOC，

∴EQ=OC=3，

∴﹣3=x²﹣2x﹣3，

解得：x=2或x=0(與C點重合，舍去)，

∴Q(2，﹣3)；

綜上所述，點Q的坐標為：(1+，3)或(1﹣，3)或(2，﹣3).

【例2】（2018·鄭州三模）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx－5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2所示，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC、CE分別交于點F、G，試探究當(dāng)點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及最大面積；

（3）點M是（1）中所求拋物線對稱軸上一動點，點N是反比例函數(shù)y=圖象上一點，若以點B、C、M、N為動點的四邊形是矩形，請直接寫出滿足條件的k的值.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）將A(-1,0),B(5,0)代入y=ax²+bx－5得：

，解得：，

即拋物線的解析式為：y=x²－4x－5.

（2）在y=x²－4x－5中，當(dāng)x=0時，y=－5，即C(0，－5),

∵CE∥x軸，則C、E關(guān)于直線x=2對稱，

∴E(4，－5), CE=4，

由B（5,0）, C(0，－5)得直線BC的解析式為：y=x－5，

設(shè)H(m，m²－4m－5)，

∵FH⊥CE，

∴F(m，m－5)，

∴FH= m－5－（m²－4m－5)= －m²+5m，

S_{四邊形CHEF}=·FH·CE

=（－m²+5m）×4

=－2（m－）²+，

當(dāng)m=時，四邊形CHEF的面積取最大值，此時H(，).

（3）設(shè)M（2，m），N(n，)，B(5,0)，C(0，－5)，

①當(dāng)BC為矩形對角線時，此時：2+n=5+0，m+=0－5，即n=3，

設(shè)BC與MN交于點H，則H(，)，MH=BC=，

∴，

解得：m=1或m=－6，

當(dāng)m=1時，k=－18；m=－6時，k=3，

②當(dāng)BC為矩形邊時，分兩種情況討論：

（i）當(dāng)點M在直線BC下方時，即四邊形BCMN為矩形，

則∠BCM=90°，2+5=n+0，m=－5，

過M作MH⊥y軸于H，則由OB=OC知，∠OCB=45°，

∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，

∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；

（ii）當(dāng)點M在直線BC上方時，即四邊形BCNM為矩形，

則∠CBM=90°，n+5=2， =m－5，

設(shè)對稱軸與x軸交于點H，同理可得：BH=MH，

∴3=m，n=－3，k=6；

綜上所述，k的值為：－18，3，－14或6.

【變式2-1】（2019·駐馬店二模）如圖，拋物線 y=-x²+bx+c?經(jīng)過 A(-1，0)，B(3，0)兩點，且與 y?軸交于點 C，點 D?是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸 DE?交 x?軸于點 E，連接BD．

（1）求經(jīng)過 A，B，C?三點的拋物線的函數(shù)表達式．

（2）點 P?是線段 BD?上一點，當(dāng) PE=PC?時，求點 P?的坐標．

（3）在（2）的條件下，過點 P?作 PF⊥x?軸于點 F，G?為拋物線上一動點，M?為 x?軸上一動點，N?為直線 PF?上一動點，當(dāng)以 F，M，G，N?為頂點的四邊形是正方形時，請求出點 M?的坐標．

【答案】見解析.

【解析】解：（1）∵拋物線 y=-x²+bx+c?經(jīng)過 A(-1，0)，B(3，0)兩點，

∴，解得：，

即拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3.

（2）由y=-x²+2x+3知，C(0，3)，E(1，0)，D(1,4)，

可得直線BD的解析式為：y=-2x+6，

設(shè)P（m，-2m+6），由勾股定理得：PE²=，PC²=，

由PE=PC，得：=，

解得：m=2，即P(2，2).

（3）∵M在x軸上，N在直線PF上，

∴∠NFM=90°，

由四邊形MFNG是正方形，知MF=MG，

設(shè)M(n，0)，則G(n，-n²+2n+3)，

MG=|-n²+2n+3|，MF=|n-2|，

∴|-n²+2n+3|=|n-2|，

解得：n=或n=或n=或n=，

故點M的坐標為：（，0），（，0），（，0），（，0）.

【變式2-2】（2019·大聯(lián)考）如圖1，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），點P在拋物線上，且在x軸的上方，點P的橫坐標記為t.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過點P作y軸的平行線交直線AC于點M，交x軸于點N，若MC平分∠PMO，求t的值.

（3）點D在直線AC上，點E在y軸上，且位于點C的上方，那么在拋物線上是否存在點P，使得以點C、D、E、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出菱形的面積.

圖1 ????????????????????????????????圖2

【答案】見解析.

【解析】解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），

∴，解得：，

即拋物線的解析式為：y=x²x+3.

（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直線AC的解析式為：y=，

∵點P的橫坐標為t，

∴M(t, )，

∵PN∥y軸，

∴∠PMC=∠MCO，

∵MC平分∠PMO，

∴∠PMC=∠OMC，

∴∠MCO=∠OMC，

即OM=OC=3，

∴OM²=9，

即，解得：t=0（舍）或t=，

∴當(dāng)MC平分∠PMO時，t=.

（3）設(shè)P(t, t²t+3)，

①當(dāng)CE為菱形的邊時，四邊形CEPD為菱形，

則PD∥y軸，CD=PD，

則D(t，),

∴PD=t²t+3－（）=t²t，

由勾股定理得：CD==，

∴t²t=，解得：t=0（舍）或t=，

即PD=，菱形面積為：×=；

②當(dāng)CE為菱形的對角線時，此時P與D點關(guān)于y軸對稱，

則D(-t, t²t+3)，將D點坐標代入y=，得：

t²t+3=，解得：t=0（舍）或t=－2，

PD=4，CE=3，菱形的面積為：×4×3=6；

綜上所述，菱形的面積為：或6.

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