專題13 擊破類比、探究類綜合題利器之相似知識(shí)

模型一、A字形（手拉手）及其旋轉(zhuǎn)

模型二、K字型及其旋轉(zhuǎn)

【例1】（2019·洛陽二模）如圖 1，在 Rt△ABC?中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點(diǎn) D，E?分別是邊 AB，AC?的中點(diǎn)，連接 DE，將△ADE?繞點(diǎn) A?按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為 α，BD，EC?所在直線相交所成的銳角為 β．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

當(dāng) α=0°時(shí)，= ，β=

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，和β的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）在△ADE?旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) DE∥AC?時(shí)，直接寫出此時(shí)△CBE?的面積．

圖1 ????????????????????圖2

【答案】見解析.

【解析】解：（1）由題意知，AC=4，CE=AE=2，BD=AD=2，

∴=，β=∠A=45°，

（2）無變化，理由如下：

延長CE交BD于F，

∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴，∠DAE=∠BAC=45°，

∴∠DAB=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE，

∴,

∠ABD=∠ACE，

∴∠CFB=45°，

即β=∠CFB=45°.

(3)①如圖所示，

S=BC·BE

=×4×（4-2）=8-4；

②如下圖所示，

S=BC·BE

=×4×（4+2）=8+4；

綜上所述，在△ADE旋轉(zhuǎn)過程中，DE∥AC時(shí)，此時(shí)△CBE的面積為8－4或8+4.

【變式1-1】（2019·洛陽三模）如圖 1，在 Rt△ABC?中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E?兩點(diǎn)分別是 AC，CB?上的點(diǎn)，且 CD=6，DE∥AB，將△CDE?繞點(diǎn) C?順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，記旋轉(zhuǎn)角為 α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng) α=0°時(shí)，= ；

②當(dāng) α=90°時(shí)，= ．

（2）拓展探究

請你猜想當(dāng)△CDE?在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否發(fā)生變化？根據(jù)圖2證明你的猜想．

（3）問題解決

在將△CDE?繞點(diǎn) C?順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng) AD=2時(shí)，BE=???，此時(shí)α=???．

圖1 ?????????????????????圖2

【答案】（1），；（2）見解析；（3）；60或300.

【解析】解：（1）∵AB=10，AC=8，

∴由勾股定理得：BC=6，

①∵DE∥AB，

∴,

即，

∴CE=，

∴BE=，

∴=；

②由勾股定理得：AD=10，BE=，

∴=；

（2）不變化，理由如下：

由題意知：△DCE∽△ACB，

∴，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴,

即.

（3）由(2)知，

∵AD=2，

∴BE=,

如圖，過D作DF⊥AC于F，

設(shè)AF=x，則CF=8－x，

由勾股定理得：

（2）²－x²=6²－（8－x）²，

解得：x=5，

即AF=5，CF=3，

由CD=6，得∠FDC=30°，

∴∠DCF=60°，即α=60°；

同理可得，當(dāng)α=300°時(shí)，AD=2，

答案為：；60°或300°.

【例2】（2019·南陽畢業(yè)測試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．

（1）探究發(fā)現(xiàn)：

如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝??????；

（2）數(shù)學(xué)思考：

①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝???????（用含m，n的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；

圖1 ????????????圖2 ???????????????圖3 ???????????備用圖

【答案】（1）1；（2）①；②見解析．

【解析】解：（1）當(dāng)m＝n時(shí)，即：BC＝AC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴=，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴==1，即=1，

（2）①由（1）中方法可證得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，

∴===，即=，

②成立．

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

又∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴=，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴==，

∴=．

【變式2-1】（2019·開封二模）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是邊CD上的點(diǎn)，且CE＝4，過點(diǎn)E作CD的垂線，并在垂線上截取EF＝3，連接CF．將△CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

當(dāng)a＝0°時(shí)，AF＝????，BE＝??????，＝????；

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤a°＜360°時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．

（3）問題解決

當(dāng)△CEF旋轉(zhuǎn)至A，E，F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BE的長．

圖1 ???????????????圖2 ??????????????????備用圖

【答案】（1），，；（2）（3）見解析；

【解析】解：（1）當(dāng)a＝0°時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥AD于G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，

由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四邊形DEFG是矩形，

∴DG＝EF＝3，AG＝11，

∵CE＝4，CD＝6，

∴FG＝DE＝2，

Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝，

同理，BE＝，

∴=.

（2）的大小無變化，理由如下：

連接AC，

∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，

∴，，

∴=，

∵∠CEF＝∠ABC＝90°，

∴△CEF∽△CBA，

∴，∠ECF＝∠ACB，

∴，∠ACF＝∠BCE，

∴△ACF∽△BCE，

∴，即的大小無變化；

（3）當(dāng)△CEF旋轉(zhuǎn)至A，E，F三點(diǎn)共線時(shí)，存在兩種情況：

①E在A、F之間，如圖，連接AC，

Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，

同理得：CF＝5，

由（2）知：，

Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝2，

∴AF＝AE+EF＝2+3，

∴BE＝AF＝（2+3）＝；

②點(diǎn)F在A、E之間時(shí)，如圖所示，連接AC，

同理得：AF＝AE﹣EF＝2﹣3，

∴BE＝AF＝（2-3）＝；

綜上所述，BE的值為或．

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