專題12 擊破類比、探究類綜合題利器之全等知識
模型一、A字形（手拉手）及其旋轉(zhuǎn)
模型二、K字型及其旋轉(zhuǎn)
【例1】（2019·濟源一模）在菱形 ABCD?中，∠ABC=60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點 E?的位置隨著點 P?的位置變化而變化．
（1）探索發(fā)現(xiàn)
如圖1，當(dāng)點E在菱形ABCD?內(nèi)部或邊上時，連接CE．填空：BP與CE的數(shù)量關(guān)系是??? ??，CE?與 AD?的位置關(guān)系是 ．
（2）歸納證明
當(dāng)點E在菱形 ABCD?外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）
（3）拓展應(yīng)用
如圖4，當(dāng)點P在線段 BD?的延長線上時，連接BE，若AB=
，BE=
，請直接寫出四邊形 ADPE?的面積．
???
圖1 ???????????????????????????圖2
?????
圖3 ???????????????????????????圖4
【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）見解析.
【解析】解：（1）連接AC，延長CE至AD，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵△APE是等邊三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABP=30°，
∵△BAP≌△CAE，
∴∠ABP=∠ACE=30°，
∵∠CAD=60°，
∴∠ACE+∠CAD=90°，
即CD⊥AD.
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：（以圖2為例）
連接AC，設(shè)CE與AD交于點H，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等邊三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；
（3）連接AC交BD于O，連接CE，
由（2）知，CE⊥BC，
∵AB=
，BE=
，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，
由△BAP≌△CAE，
得：BP=CE，BD=6，
∴DP=BP－BD=2，
AO=
，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=
，
∴S=S△ADP+S△APE
=
=8
.
【變式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC為銳角，點M為射線AB上一動點，連接CM，以點C為直角頂點，以CM為直角邊在CM右側(cè)作等腰直角三角形CMN，連接NB．
（1）如圖1，圖2，若△ABC為等腰直角三角形，
問題初現(xiàn)：①當(dāng)點M為線段AB上不與點A重合的一個動點，則線段BN，AM之間的位置關(guān)系是_____________，數(shù)量關(guān)系是______________；
深入探究:②當(dāng)點M在線段AB的延長線上時，判斷線段BN，AM之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
類比拓展:（2）如圖3，∠ACB≠90°，若當(dāng)點M為線段AB上不與點A重合的一個動點，MP⊥CM交線段BN于點P，且∠CBA=45°，BC=
，當(dāng)BM=_________時，BP的最大值為__________．
圖1 圖2 圖3
【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）見解析，（3）2， 1.
【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可證△ACM≌△BCN，
∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，
∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.
（2）BN⊥AM，BN=AM；理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°，
同理，∠NCM=90°，NC=MC,
∴∠ACM=∠BCN，
∴△ACM≌△BCN，
∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，
∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.
(3)過C作CG⊥BC交BA的延長線于G，過C作CH⊥AB于H，如圖所示，
易證△GCM≌△BCN，
由（2）知，BN⊥AB，
∴△CHM∽△MBP，
∴
,
即
,
設(shè)BM=x，
則BP=
，
∴當(dāng)BM=2時，BP取最小值，最小值為1.
【例2】（2018·洛陽三模）在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動.
（1）如圖1，當(dāng)點E在邊CD上自D向C移動，同時點F在邊CB上自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)E，F分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）；連接AC，請你直接寫出△ACE為等腰三角形時CE：CD的值；
（3）如圖3，當(dāng)E，F分別在直線DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最大值．
【答案】見解析.
【解析】解：
（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
由題意知：DE=CF，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的結(jié)論還成立，CE：CD=
或2，理由如下：
①如圖，當(dāng)AC=CE時，
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC=CE=
a，
則CE：CD=
a：a=
；
②如圖，當(dāng)AE=AC時，
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC=AE=
a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=
90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE：CD=2a：a=2；
故，CE：CD=
或2；
（3）∵點P在運動中∠APD=90°，
∴點P的路徑是以AD為直徑的圓，
如圖，設(shè)AD的中點為Q，連接CQ并延長交圓Q于點P，此時CP的長度最大，
在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC=
，
∴CP=QC+QP=
+1，
即線段CP的最大值是
+1．
【變式2-1】（2019·西華縣一模）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE=BF．連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，FC．
（1）請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ??? ，位置關(guān)系是 ???? ；
（2）如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；
（3）如圖3，若點E，F分別是邊BC，AB延長線上的點，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．
圖1 ???????????????????圖2 ???????????????????圖3
【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）見解析．
【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；
∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，
∴△BCF≌△CDE，
∴∠DEC=∠CFB，
∵∠CFB+∠FCB=90°，
∴∠DEC?+∠FCB=90°，
即CF⊥DE，
∵DE⊥EG，
∴EG∥CF，
∴EG=DE=CF，
∴四邊形FCEG是平行四邊形，
∴FG=CE，FG∥CE；
（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，
∴△BCF≌△CDE，
∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，
∵∠CFB+∠FCB=90°，
∴∠DEC?+∠FCB=90°，
即CF⊥DE，
∵DE⊥EG，
∴EG∥CF，
∴EG=DE=CF，
∴四邊形FCEG是平行四邊形，
∴FG=CE，FG∥CE；
（3）成立．
由上可證：△CBF≌△DCE，
得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四邊形CEGF平行四邊形，
∴FG∥CE，FG=CE．
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