專(zhuān)題11 實(shí)際問(wèn)題中的方程（組）與函數(shù)題型

【例1】（2019·鄭州外國(guó)語(yǔ)測(cè)試）俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷(xiāo)售一批足球紀(jì)念冊(cè)，每本進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷(xiāo)售單價(jià)不低于44元，且獲利不高于30%，在試銷(xiāo)售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300本，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天銷(xiāo)售量減少10本，現(xiàn)商店決定提價(jià)銷(xiāo)售，設(shè)每天銷(xiāo)售量為y本，銷(xiāo)售單價(jià)為x元.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x直接的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；

（2）當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)的銷(xiāo)售單價(jià)是多少元時(shí)，商店每天獲利2400元？

（3）當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)的銷(xiāo)售單價(jià)是多少元時(shí)，商店每天的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）y=300－10(x－44)，

整理得：y=－10x+740，（44≤x≤52）；

（2）由題意得：（x－40）（－10x+740）=2400，

解得：x=50，x=64（舍），

即當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)的銷(xiāo)售單價(jià)是50元時(shí)，商店每天獲利2400元.

（3）由題意得：w=（x－40）（－10x+740）

=－10（x－57）²+2890

∵－10<0，對(duì)稱軸為x=57，

∴當(dāng)x<57時(shí)，w隨x增大而增大，

∵44≤x≤52，

∴當(dāng)x=52時(shí)，w取最大值，最大為2640元，

即當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)的銷(xiāo)售單價(jià)是52元時(shí)，商店每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2640元.

【例2】（2018·河師大附中模擬）某養(yǎng)殖專(zhuān)業(yè)戶計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種牲畜，已知乙種牲畜的單價(jià)是甲種牲畜單價(jià)的2倍多200元，買(mǎi)3頭甲種牲畜和1頭乙種牲畜共需5700元.

（1）甲、乙兩種牲畜的單價(jià)各是多少元？

（2）相關(guān)資料表明：甲、乙兩種牲畜的成活率分別為95%和99%，若購(gòu)買(mǎi)以上兩種牲畜共50頭，并使這50頭的成活率不低于97%，且要使購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用最低，應(yīng)如何購(gòu)買(mǎi)？

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）設(shè)甲種牲畜的單價(jià)為x元，由題意得：

3x+2x+3000=7500，

解得：x=1100，

2×1100+200=2400，

即甲種牲畜的單價(jià)為1100元，乙種牲畜的單價(jià)為2400元.

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種牲畜m頭時(shí)，總購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為w元，

則w=1100m+2400（50－m）

=－1300m+120000，

由題意知：95%m+99%（50－m）≥97%×50，

解得：m≤25，

即0≤m≤25，

∵－1300<0，

∴w隨m的增大而減小，

當(dāng)m=25時(shí)，w取最小值，即費(fèi)用最低，

∴購(gòu)買(mǎi)兩種牛各25頭時(shí)，費(fèi)用最低.

【變式2-1】（2019·三門(mén)峽二模）水果店王阿姨到水果批發(fā)市場(chǎng)打算購(gòu)進(jìn)一種水果銷(xiāo)售，經(jīng)過(guò)還價(jià)，實(shí)際價(jià)格每千克比原來(lái)少2元，發(fā)現(xiàn)原來(lái)買(mǎi)這種水果80千克的錢(qián)，現(xiàn)在可買(mǎi)88千克．

（1）現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種水果每千克多少元？

（2）王阿姨準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這種水果銷(xiāo)售，若這種水果的銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/千克）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②請(qǐng)你幫王阿姨拿個(gè)主意，將這種水果的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入﹣進(jìn)貨金額）

【答案】見(jiàn)解析．

【解析】解：（1）設(shè)現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種水果價(jià)格為每千克a元，則原來(lái)價(jià)格為每千克（a+2）元，由題意，得：80（a+2）＝88a，

解得：a＝20．

即現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種水果每千克20元；

（2）①設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，

將（25，165），（35，55）代入y＝kx+b得，

，

解得：，

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣11x+440；

②設(shè)這種水果的銷(xiāo)售價(jià)格為x元/千克時(shí)，利潤(rùn)為w元，

則w＝（x﹣20）y

＝（x﹣20）（﹣11x+440）

＝﹣11（x﹣30）²+1100，

∵﹣11<0，

∴當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值，最大值為1100．

即這種水果的銷(xiāo)售單價(jià)定為30元時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1100元．

【例3】（2018·洛陽(yáng)三模）在江蘇衛(wèi)視《最強(qiáng)大腦》節(jié)目中，搭載百度大腦的機(jī)器人小度以3:1的總成績(jī)，，斬獲2017年度腦王巔峰對(duì)決的晉級(jí)資格，人工智能時(shí)代已經(jīng)撲面而來(lái)．

某商場(chǎng)第一次用11000元購(gòu)進(jìn)某款拼裝機(jī)器人進(jìn)行銷(xiāo)售，很快銷(xiāo)售一空，商家又用24000元第二次購(gòu)進(jìn)同款機(jī)器人，所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價(jià)貴了10元．

（1）求該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人多少個(gè)？

（2）若所有機(jī)器人都按相同的標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售，要求全部銷(xiāo)售完畢的利潤(rùn)率不低于20%（不考慮其它因素），那么每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是多少元？

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人x個(gè)，

由題意得：，

解得：x=100．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是所列方程的解，且符合題意．

答：該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人100個(gè)．

（2）設(shè)每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)是a元．

由題意得：a﹣11000﹣24000≥×20%，

解得：a≥140．

答：每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是140元．

【變式3-1】（2019·周口二模）由于技術(shù)更新，智能電視的功能越來(lái)越強(qiáng)大，價(jià)格也逐漸下降，某電器商行經(jīng)營(yíng)的A款40英寸智能電視去年銷(xiāo)售總額為5萬(wàn)元，今年每臺(tái)銷(xiāo)售價(jià)比去年降低400元，若賣(mài)出的數(shù)量相同，銷(xiāo)售總額將比去年減少20%．

（1）今年A款40英寸智能電視每臺(tái)售價(jià)多少元？（用列方程的方法解答）

（2）該電器商行計(jì)劃新進(jìn)一批A款40英寸智能電視和新款B款40英寸智能電視共60臺(tái)，且B款40英寸智能電視的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A款40英寸智能電視數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批智能電視獲利最多？

A，B兩款40英寸智能電視的進(jìn)貨和銷(xiāo)售價(jià)格如下表：

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：設(shè)今年A款40英寸智能電視每臺(tái)售價(jià)為x元，則去年每臺(tái)售價(jià)為（x+400）元，由題意得：

，

解得：x=1600，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是原方程的解，符合題意，

∴今年A款40英寸智能電視每臺(tái)售價(jià)為1600元.

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款電視a臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B款（60－a）臺(tái)，此時(shí)獲利y元，

y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）

=-100a+36000，

其中：60-a≤2a，0≤a≤60，

即20≤a≤60，且a為整數(shù)；

∵-100<0，

∴y隨a的增大而減小，

當(dāng)a=20時(shí)，y取最大值，

即當(dāng)進(jìn)A款電視20臺(tái)，B款電視40臺(tái)時(shí)，獲利最大.

【例4】（2018·河南第一次大聯(lián)考）紫石中學(xué)為了給同學(xué)們提供更好的學(xué)習(xí)環(huán)境，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批桂花樹(shù)和香樟樹(shù)來(lái)綠化校園，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)2棵桂花樹(shù)3棵香樟樹(shù)共需360元，購(gòu)買(mǎi)3棵桂花樹(shù)2棵香樟樹(shù)共需340元．

（1）桂花樹(shù)香樟樹(shù)的單價(jià)各多少？

（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，需購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)苗共150棵，總費(fèi)用不超過(guò)10840元，且購(gòu)買(mǎi)香樟樹(shù)的棵樹(shù)不少于桂花樹(shù)的1.5倍，請(qǐng)你算算，該校本次購(gòu)買(mǎi)桂花樹(shù)和香樟樹(shù)共有哪幾種方案．

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）設(shè)桂花每棵x元，香樟樹(shù)每棵y元，

由題意得：，

解得：x=60，y=80，

答：桂花樹(shù)每棵60元，香樟樹(shù)每棵80元.

（2）設(shè)桂花樹(shù)購(gòu)買(mǎi)x棵，則香樟樹(shù)購(gòu)買(mǎi)（150－a）棵，

由題意得：

，

解得：58≤x≤60，

∴有三種購(gòu)買(mǎi)方案：桂花樹(shù)58棵，香樟樹(shù)92棵；桂花樹(shù)59棵，香樟樹(shù)91棵；桂花樹(shù)60棵，香樟樹(shù)90棵.

【變式4-1】（2019·偃師一模）冬季來(lái)臨，某網(wǎng)店準(zhǔn)備在廠家購(gòu)進(jìn) A，B?兩種暖手寶共 100 個(gè)用于銷(xiāo)售，若購(gòu)買(mǎi) A?種暖手寶 8 個(gè)，B?種暖手寶 3 個(gè)，需要 950 元；若購(gòu)買(mǎi) A?種暖手寶 5 個(gè)，B?種暖手寶 6 個(gè)，則需要 800 元．

（1）購(gòu)買(mǎi) A，B?兩種暖手寶每個(gè)各需多少元？

（2）①由于資金限制，用于購(gòu)買(mǎi)這兩種暖手寶的資金不能超過(guò) 7 650 元，設(shè)購(gòu)買(mǎi) A?種暖手寶 m?個(gè)，求 m?的取值范圍；

②在①的條件下，購(gòu)進(jìn) A?種暖手寶不能少于 50 個(gè)，則有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？

（3）購(gòu)買(mǎi)后，若一個(gè) A?種暖手寶運(yùn)費(fèi)為 5 元，一個(gè) B?種暖手寶運(yùn)費(fèi)為 4 元， 在第（2）問(wèn)的各種購(gòu)買(mǎi)方案中，購(gòu)買(mǎi) 100 個(gè)暖手寶，哪一種購(gòu)買(mǎi)方案所付的運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少元？

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）設(shè)A、B兩種暖手寶的價(jià)格分別為x元/個(gè)、y元/個(gè)，

由題意得：，

解得：x=100，y=50，

即A、B兩種暖手寶的價(jià)格分別為100元/個(gè),50元/個(gè).

（2）①由題意得：

100m+50（100－m）≤7650，

解得：m≤53，

∴m的取值范圍是：0≤m≤53，且m為整數(shù)；

②∵50≤m≤53，

∴共有以下四種購(gòu)買(mǎi)方案，

A種50個(gè)，B種50個(gè)；A種51個(gè)，B種49個(gè)；A種52個(gè)，B種48個(gè)；A種53個(gè)，B種47個(gè)；

（3）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為w元，則：

w=5m+4(100－m)=m+400，

∵1>0，

∴w隨m的增大而增大，

當(dāng)m=50時(shí)，運(yùn)費(fèi)最少，最少為450元，

∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)A種產(chǎn)品50個(gè)，B種產(chǎn)品50個(gè)時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少，最少為450元 .

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