專題10一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題

【例1】（2019·偃師一模）如圖，直線l：y=ax+b交 x軸于點A(3，0)，交 y軸于點B(0，-3)，交反比例函數(shù)y?=于第一象限的點P，點P的橫坐標(biāo)為4.

（1）求反比例函數(shù)y?=的解析式；

（2）過點P作直線l的垂線l₁，交反比例函數(shù)y=的圖象于點C，求△OPC的面積.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）∵y=ax+b?交 x軸于點A(3，0)，交 y軸于點 B(0，-3)，

∴3a+b=0，b=－3，

解得：a=1，

即l₁的解析式為：y=x－3，

當(dāng)x=4時，y=1，即P（4,1），

將P點坐標(biāo)代入y=得：k=4，

即反比函數(shù)的解析式為：y=；

（2）設(shè)直線l₁與x軸、y軸分別交于點E，D，

∵OA=OB=3，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵l⊥l₁，

∴∠DPB=90°，

∴∠ODP=45°，

設(shè)直線l₁的解析式為：y=－x+b，

將點P(4,1)代入得：b=5，

聯(lián)立：y=－x+5，y=，解得：

x=1，y=4或x=4，y=1，

即C(1,4)，

∴S_△OPC=S_△ODE－S_△OCD－S_△OPE

=×5×5－×5×1－×5×1

=.

【變式1-1】（2018·河南第一次大聯(lián)考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合，A，C分別在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（4，2），直線y=–x+3交AB，BC于點M，N，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M，N．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點P在x軸上，且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點P的坐標(biāo)．

【答案】見解析.

【解析】解：（1）∵B（4,2），四邊形OABC為矩形，

∴OA=BC=2，

在y=–x+3中，y=2時，x=2，

即M(2,2),

將M（2，2）代入得：k=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為：.

（2）在中，當(dāng)x=4時，y=1，

即CN=1，

∵S_{四邊形BMON}=S_矩形OABC－S_△AOM－S_△CON

=4×2－×2×2－×4×1

=4，

∴S_△OPM=4，

即·OP·OA=4，

∵OA=2，

∴OP=4，

∴點P的坐標(biāo)為（4,0）或（－4,0）.

【例2】（2019·濟源一模）已知：如圖，一次函數(shù) y=kx+3 的圖象與反比例函數(shù)y?=（x＞0）的圖象交于點P，PA⊥x?軸于點A，PB⊥y軸于點B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C，D，且S_△DBP=27，.

（1）求點 D?的坐標(biāo)；

（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（3）根據(jù)圖象寫出x取何值時，一次函數(shù) y=kx+3 的值小于反比例函數(shù)y?=的值．

【答案】見解析.

【解析】解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+3與y軸相交，

∴令x=0，解得y=3，

∴D的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，∠DCO=∠ACP，∠DOC=∠CAP=90°，

∴Rt△COD∽Rt△CAP，

∴，OD=3，

∴AP=OB=6，

∴DB=OD+OB=9，

∵S_△DBP=27，

即＝27，

∴BP=6，

∴P（6，-6），

把P坐標(biāo)代入y=kx+3，得到k=，

則一次函數(shù)的解析式為：y＝x+3；

把P坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：m=－36，

則反比例解析式為：y＝?；

（3）聯(lián)立y＝?，y＝x+3得：

x=－4，y=9或x=6，y=－6，

即直線與雙曲線兩個交點坐標(biāo)為（－4,9），（6，－6），

∴當(dāng)x＞6或－4＜x＜0時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．

【變式2-1】（2019·洛陽三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形 ABDC?的頂點 D，C?在反比例函數(shù)y=上（k＞0，x＞0），橫坐標(biāo)分別為和2，對角線 BC∥x?軸，菱形ABDC?的面積為 9．

（1）求 k?的值及直線 CD?的解析式；

（2）連接 OD，OC，求△OCD?的面積．

【答案】見解析.

【解析】解：（1）連接AD，

∵菱形 ABDC?的頂點D，C?在反比例函數(shù)y=上，橫坐標(biāo)分別為和2，

∴D(,2k)，C(2,?),

∵BC∥x軸，

∴B(－1，),A(,－k),

∴BC=3，AD=3k，

∵S_菱形ABCD=9，

∴×3×3k=9，解得：k=2，

∴D(,4)，C(2,?1),

設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，

∴m+n=4，2m+n=1，

解得：m=－2，n=5，

即直線CD的解析式為y=－2x+5.

（2）設(shè)直線y=－2x+5交x軸、y軸于點F，E，

則F(,0),E(0,5)，

∴S_△OCD=S_△EOF－S_△OED－S_△OCF

=×5×－×5×－×1×

=，

即△OCD的面積為：.

【例3】（2019·西華縣一模）如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，點F是AB上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數(shù)y=的圖象與BC邊交于點E．

（1）當(dāng)F為AB的中點時，求該函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)k為何值時，△EFA的面積最大，最大面積是多少？

【答案】見解析．

【解析】解：（1）∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，

∴B（3，2），

∵F為AB的中點，

∴F（3，1），

∵點F在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴k=3，

即函數(shù)的解析式為y=；

（2）E，F兩點坐標(biāo)為：E（，2），F（3，），

∴S_△EFA=AF?BE

=×（3﹣），

=，

∴當(dāng)k=3時，S_△EFA有最大值，最大值．

【變式3-1】（2019·中原名校大聯(lián)考）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C（﹣2，0），點A的縱坐標(biāo)為6，AC＝3CB．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）請直接寫出不等式組＜kx+b＜4的解集；

（3）點P（x，y）是直線y＝k+b上的一個動點，且滿足（2）中的不等式組，過點P作PQ⊥y軸交y軸于點Q，若△BPQ的面積記為S，求S的最大值．

【答案】見解析．

【解析】解：（1）過點A作AD⊥x軸于D，過B作BE⊥x軸于E，

則∠ADC＝∠BEC＝90°，

∵∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴，即，

解得：BE＝2，CE＝1，

∴A（1，6），

∴反比例函數(shù)解析式為y＝；

（2）將A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，

得：，解得：，

即直線解析式為：y＝2x+4，

由B（﹣3，﹣2），

得不等式組＜2x+4＜4的解集為：﹣3＜x＜0；

（3）設(shè)P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），

則PQ＝﹣m，△BPQ中PQ邊上的高為2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，

∴S＝?（﹣m）（2m+6）

＝﹣m²﹣3m

＝﹣（m+）²+，

∴當(dāng)m＝﹣時，S取得最大值，最大值為．

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