專題10一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題
【例1】(2019·偃師一模)如圖,直線l:y=ax+b交 x軸于點A(3,0),交 y軸于點B(0,-3),交反比例函數(shù)y?=
于第一象限的點P,點P的橫坐標(biāo)為4.
(1)求反比例函數(shù)y?=
的解析式;
(2)過點P作直線l的垂線l1,交反比例函數(shù)y=
的圖象于點C,求△OPC的面積.
【答案】見解析.
【解析】解:(1)∵y=ax+b?交 x軸于點A(3,0),交 y軸于點 B(0,-3),
∴3a+b=0,b=-3,
解得:a=1,
即l1的解析式為:y=x-3,
當(dāng)x=4時,y=1,即P(4,1),
將P點坐標(biāo)代入y=
得:k=4,
即反比函數(shù)的解析式為:y=
;
(2)設(shè)直線l1與x軸、y軸分別交于點E,D,
∵OA=OB=3,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵l⊥l1,
∴∠DPB=90°,
∴∠ODP=45°,
設(shè)直線l1的解析式為:y=-x+b,
將點P(4,1)代入得:b=5,
聯(lián)立:y=-x+5,y=
,解得:
x=1,y=4或x=4,y=1,
即C(1,4),
∴S△OPC=S△ODE-S△OCD-S△OPE
=
×5×5-
×5×1-
×5×1
=
.
【變式1-1】(2018·河南第一次大聯(lián)考)如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合,A,C分別在坐標(biāo)軸上,點B的坐標(biāo)為(4,2),直線y=–
x+3交AB,BC于點M,N,反比例函數(shù)
的圖象經(jīng)過點M,N.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點P在x軸上,且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等,求點P的坐標(biāo).
【答案】見解析.
【解析】解:(1)∵B(4,2),四邊形OABC為矩形,
∴OA=BC=2,
在y=–
x+3中,y=2時,x=2,
即M(2,2),
將M(2,2)代入
得:k=4,
∴反比例函數(shù)的解析式為:
.
(2)在
中,當(dāng)x=4時,y=1,
即CN=1,
∵S四邊形BMON=S矩形OABC-S△AOM-S△CON
=4×2-
×2×2-
×4×1
=4,
∴S△OPM=4,
即
·OP·OA=4,
∵OA=2,
∴OP=4,
∴點P的坐標(biāo)為(4,0)或(-4,0).
【例2】(2019·濟(jì)源一模)已知:如圖,一次函數(shù) y=kx+3 的圖象與反比例函數(shù)y?=
(x>0)的圖象交于點P,PA⊥x?軸于點A,PB⊥y軸于點B,一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C,D,且S△DBP=27,
.
(1)求點 D?的坐標(biāo);
(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象寫出x取何值時,一次函數(shù) y=kx+3 的值小于反比例函數(shù)y?=
的值.
【答案】見解析.
【解析】解:(1)∵一次函數(shù)y=kx+3與y軸相交,
∴令x=0,解得y=3,
∴D的坐標(biāo)為(0,3);
(2)∵OD⊥OA,AP⊥OA,∠DCO=∠ACP,∠DOC=∠CAP=90°,
∴Rt△COD∽Rt△CAP,
∴
,OD=3,
∴AP=OB=6,
∴DB=OD+OB=9,
∵S△DBP=27,
即
=27,
∴BP=6,
∴P(6,-6),
把P坐標(biāo)代入y=kx+3,得到k=
,
則一次函數(shù)的解析式為:y=
x+3;
把P坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得:m=-36,
則反比例解析式為:y=?
;
(3)聯(lián)立y=?
,y=
x+3得:
x=-4,y=9或x=6,y=-6,
即直線與雙曲線兩個交點坐標(biāo)為(-4,9),(6,-6),
∴當(dāng)x>6或-4<x<0時,一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.
【變式2-1】(2019·洛陽三模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形 ABDC?的頂點 D,C?在反比例函數(shù)y=
上(k>0,x>0),橫坐標(biāo)分別為
和2,對角線 BC∥x?軸,菱形ABDC?的面積為 9.
(1)求 k?的值及直線 CD?的解析式;
(2)連接 OD,OC,求△OCD?的面積.
【答案】見解析.
【解析】解:(1)連接AD,
∵菱形 ABDC?的頂點D,C?在反比例函數(shù)y=
上,橫坐標(biāo)分別為
和2,
∴D(
,2k),C(2,?
),
∵BC∥x軸,
∴B(-1,
),A(
,-k),
∴BC=3,AD=3k,
∵S菱形ABCD=9,
∴
×3×3k=9,解得:k=2,
∴D(
,4),C(2,?1),
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n,
∴
m+n=4,2m+n=1,
解得:m=-2,n=5,
即直線CD的解析式為y=-2x+5.
(2)設(shè)直線y=-2x+5交x軸、y軸于點F,E,
則F(
,0),E(0,5),
∴S△OCD=S△EOF-S△OED-S△OCF
=
×5×
-
×5×
-
×1×
=
,
即△OCD的面積為:
.
【例3】(2019·西華縣一模)如圖,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,點F是AB上的一個動點(F不與A,B重合),過點F的反比例函數(shù)y=
的圖象與BC邊交于點E.
(1)當(dāng)F為AB的中點時,求該函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)k為何值時,△EFA的面積最大,最大面積是多少?
【答案】見解析.
【解析】解:(1)∵矩形OABC中,OA=3,OC=2,
∴B(3,2),
∵F為AB的中點,
∴F(3,1),
∵點F在反比例函數(shù)y=
的圖象上,
∴k=3,
即函數(shù)的解析式為y=
;
(2)E,F兩點坐標(biāo)為:E(
,2),F(3,
),
∴S△EFA=
AF?BE
=
×
(3﹣
),
=
,
∴當(dāng)k=3時,S△EFA有最大值,最大值
.
【變式3-1】(2019·中原名校大聯(lián)考)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=
的圖象交于A,B兩點,與x軸交于點C(﹣2,0),點A的縱坐標(biāo)為6,AC=3CB.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)請直接寫出不等式組
<kx+b<4的解集;
(3)點P(x,y)是直線y=k+b上的一個動點,且滿足(2)中的不等式組,過點P作PQ⊥y軸交y軸于點Q,若△BPQ的面積記為S,求S的最大值.
【答案】見解析.
【解析】解:(1)過點A作AD⊥x軸于D,過B作BE⊥x軸于E,
則∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
∴
,即
,
解得:BE=2,CE=1,
∴A(1,6),
∴反比例函數(shù)解析式為y=
;
(2)將A(1,6),C(﹣2,0)代入y=kx+b,
得:
,解得:
,
即直線解析式為:y=2x+4,
由B(﹣3,﹣2),
得不等式組
<2x+4<4的解集為:﹣3<x<0;
(3)設(shè)P(m,2m+4)(﹣3<m<0),
則PQ=﹣m,△BPQ中PQ邊上的高為2m+4﹣(﹣2)=2m+6,
∴S=
?(﹣m)(2m+6)
=﹣m2﹣3m
=﹣(m+
)2+
,
∴當(dāng)m=﹣
時,S取得最大值,最大值為
.
?
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