專題09三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題
模型一
模型二
【例1】（2018·河南第一次大聯(lián)考）如圖所示，C城市在A城市正東方向，現(xiàn)計(jì)劃在A，C兩城市間修建一條高速鐵路（即線段AC），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)區(qū)的中心P在城市A的北偏東60°方向上，在線段AC上距A城市120 km的B處測(cè)得P在北偏東30°方向上，已知森林保護(hù)區(qū)是以點(diǎn)P為圓心，100 km為半徑的圓形區(qū)域，請(qǐng)問(wèn)計(jì)劃修建的這條高速鐵路是否穿越保護(hù)區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：
）
【答案】見(jiàn)解析.
【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，
由題意得：∠EAP=60°，∠FBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，
∠APB=30°，
∴AB=BP=120，
在Rt△PBH中，PH=BP·sin∠PBH=120×
=60
≈103.92，
∵103.92>100，
∴計(jì)劃修建的這條高速鐵路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū).
【變式1-1】（2017· 新野一模）如圖是某工廠貨物傳送帶的平面示意圖，為提高傳送過(guò)程的安全性，工廠計(jì)劃改造傳動(dòng)帶與地面的夾角，使其AB的坡角由原來(lái)的43°改為30°．已知原傳送帶AB長(zhǎng)為5米．求新舊貨物傳送帶著地點(diǎn)B、C之間相距多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，
≈1.41，
≈1.73）
【答案】見(jiàn)解析．
【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖所示，
由題意知：在Rt△ADB中，AB=5米，∠ABD=43°，
∴AD=AB?sin∠ABD=5×sin43°≈3.41米，
BD=AB?cos∠ABD=5×cos43°≈3.66米．
在Rt△ADC中，AC=?
≈6.82米，
在Rt△ACD中，AC=6.82，∠ACD=30°，
CD=AC?cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91米．
∴BC=CD﹣BD≈2米．
∴新舊貨物傳送帶著地點(diǎn)B、C之間大約相距2米．
【變式1-2】（2019·洛陽(yáng)三模）今年 3 月以來(lái)受天氣影響火災(zāi)頻發(fā)，為了提升營(yíng)救速度，某消防隊(duì)在一居民樓前進(jìn)行演習(xí)，消防員利用云梯成功救出點(diǎn) B?處的求救者后，又發(fā)現(xiàn)點(diǎn) B?正上方點(diǎn) C?處還有一名求救者．在消防車上點(diǎn) A?處測(cè)得點(diǎn) B?和點(diǎn)C?的仰角分別是 45°和 65°，點(diǎn) A?距地面 2.5 米，點(diǎn) B?距地面 10.5 米．為救出點(diǎn) C?處的求救者，云梯需要繼續(xù)上升的高度 BC?約為多少米？
（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
??1.4 ）
【答案】見(jiàn)解析.
【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CN于點(diǎn)D，
由題意知：∠CAD=65°，∠BAD=45°，BN=10.5，DN=2.5，
∴BD=BN-DN=8，
AD=BD=8，
在Rt△ACD中，CD=AD·tan∠CAD≈16.8，
∴BC=CD－BD=16.8－8≈9，
即云梯需要繼續(xù)上升的高度 BC?約為9米.
【例2】（2019·周口二模）在中國(guó)人民解放軍海軍70華誕之際，中共中央總書記、國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平4月23日出席在青島舉行的慶祝人民海軍成立70周年海上閱兵活動(dòng)，在雄壯的樂(lè)曲聲中，習(xí)近平總書記檢閱海軍儀仗隊(duì)，隨后登上檢閱艦，14時(shí)30分，海上閱艦式正式開始．在潛艇群之后，排在驅(qū)逐艦群首位的是055型驅(qū)逐艦——南昌艦，舷號(hào)噴涂為101．南昌艦位于海面上的A處，觀測(cè)到檢閱艦P位于它的北偏西67.5°方向上，南昌艦以10海里/時(shí)的速度向正北方向行駛，30分鐘到達(dá)B處，這時(shí)觀測(cè)到檢閱艦P位于南昌艦的南偏西30°方向，求此時(shí)南昌艦所處位置B與檢閱艦P的距離？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin67.5°≈
，cos67.5°≈
，tan67.5°≈
，
≈1.73）
【答案】見(jiàn)解析.
【解析】解：如圖，過(guò)P作PH⊥AB于H，
由題意得：AB=5，∠ABP=30°，∠BAP=67.5°，
設(shè)PH=x，則BH=
x，
在Rt△APH中，AH=PH÷tan∠A=
x，
∴AB=BH+AH=
x+
x，
即
x+
x=5，
解得：x≈2.3，
∴BP=2x=4.6，
即此時(shí)南昌艦所處位置B與檢閱艦P的距離約為4.6海里.
【變式2-1】（2019·商丘二模）如圖所示，小明在自家樓頂上的點(diǎn)A處測(cè)量建在與小明家樓房同一水平線上鄰居的電梯樓的高度，測(cè)得電梯樓頂部B處的仰角為60°，底部C處的俯角為26°，已知小明家樓房的高度AD＝15米，求電梯樓的高度BC．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：
≈1.73，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
【答案】見(jiàn)解析.
【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴CE＝AD＝15米，
在Rt△ACE中，AE＝
≈
≈30.61（米），
在Rt△ABE中，BE＝AE?tan60°≈52.96（米），
∴BC＝CE+BE＝15+52.96≈68.0（米）．
即電梯樓的高度BC為68.0米．
【例3】（2019·河南南陽(yáng)一模）如圖是籃球架的實(shí)物圖和示意圖，已知底座BC=0.6m，底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的長(zhǎng)為2.50米，籃板頂端F與籃筐D的距離DF=1.35米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=60°，求籃筐D到地面的距離（精確到0.01米）.
（參考數(shù)據(jù)：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，cos75°≈3.732，
≈1.414，
≈1.732）
【分析】要求籃筐D到地面的距離，需將DE延長(zhǎng)交CB延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作AG⊥EM于G，則DM=FG+GM－DF，在利用三角函數(shù)求得FG、GM的長(zhǎng)代入即可得到結(jié)果.
【解析】解：延長(zhǎng)DE延長(zhǎng)交CB延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作AG⊥EM于G，如圖所示，
在Rt△ABC中，AB=BC·tan∠ACB=0.60×3.732=2.2392，
∴GM=AB=2.2392，
由∠FAG=∠FHE=60°，
在Rt△AFG中，FG=AF·sin∠FAG=2.5×
=2.165，
∴DM=FG+GM－DF=2.165+2.2392－1.35≈3.05，
即籃筐D到地面的距離為3.05米.
【變式3-1】（2019·濟(jì)源一模）如圖 1 是小區(qū)常見(jiàn)的漫步機(jī)，當(dāng)人踩在踏板上，握住扶手，像走路一樣抬腿，就會(huì)帶動(dòng)踏板連桿繞軸旋轉(zhuǎn)，如圖 2，從側(cè)面看，立柱 DE?高 1.8 米，踏板靜止時(shí)踏板連桿與 DE?上的線段 AB?重合，BE?長(zhǎng)為0.2米，當(dāng)踏板連桿繞著點(diǎn) A?旋轉(zhuǎn)到 AC?處時(shí)，測(cè)得∠CAB=37°，此時(shí)點(diǎn) C?距離地面的高度CF?為 0.45 米，求 AB?和 AD?的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
圖1 ????????????????????圖2
【答案】見(jiàn)解析.
【解析】解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，如圖所示，
由題意知，DE=1.8，FC=0.45，BE=0.2，AC=AB，∠CAB=37°，CF⊥EF，AE⊥EF，
∴四邊形GCFE是矩形，
∴EG=CF=0.45，
設(shè)AC=AB=x，
在Rt△ACG中，AG=AC·cos∠CAG=0.8a，
∴AE=AG+GE=0.8a+0.45，
∵AE=AB+BE=a+0.2，
∴0.8a+0.45=a+0.2，解得：a=1.25，
即AB=1.25，
∴AD=DE－AB－BE=1.8－1.25－0.2=0.35，
即AB的長(zhǎng)為1.25米，AD的長(zhǎng)為0.35米.
【變式3-2】（2018·信陽(yáng)一模）共享單車被譽(yù)為“新四大發(fā)明”之一，如圖1所示是某公司2017年向信陽(yáng)市場(chǎng)提供一種共享自行車的實(shí)物圖，車架檔AC與CD的長(zhǎng)分別為45cm，60cm，AC⊥CD，座桿CE的長(zhǎng)為20cm，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，且∠CAB=75°，如圖2．
（1）求車架檔AD的長(zhǎng)；
（2）求車座點(diǎn)E到車架檔AB的距離．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin75°=0.9659，cos75°=0.2588，tan75°=3.7321）
圖1 圖2
【答案】見(jiàn)解析．
【解析】解：（1）∵AC⊥CD，AC=45cm，CD=60cm，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=75（cm），
即車架檔AD的長(zhǎng)是75cm；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE?sin75°
=（45+20）×0.9659
≈63cm，
即車座點(diǎn)E到車架檔AB的距離是63 cm．
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