專題34?動(dòng)態(tài)問題
一、動(dòng)態(tài)問題概述
1.就運(yùn)動(dòng)類型而言,有函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題、圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。
2.就運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言,幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類。
3.就圖形變化而言,有軸對(duì)稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、滾動(dòng)）等。
4.動(dòng)態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。所以說(shuō)，動(dòng)態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。
另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。所以說(shuō)，動(dòng)態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。
二、動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖象問題常見的四種類型：?
1.三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖
2.四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿四邊形的邊運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖象。
3.圓中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖象。
4.直線、雙曲線、拋物線中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿直線、雙曲線、拋物線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖象。
三、圖形運(yùn)動(dòng)與函數(shù)圖象問題常見的三種類型：?
1.線段與多邊形的運(yùn)動(dòng)圖形問題：把一條線段沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)三角形或四邊形，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，進(jìn)行分段，判斷函數(shù)圖象。
2.多邊形與多邊形的運(yùn)動(dòng)圖形問題：把一個(gè)三角形或四邊形沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)另一個(gè)多邊形，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，進(jìn)行分段，判斷函數(shù)圖象。
3.多邊形與圓的運(yùn)動(dòng)圖形問題：把一個(gè)圓沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形或四邊形，或把一個(gè)三角形或四邊形沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一個(gè)圓，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，進(jìn)行分段，判斷函數(shù)圖象。
四、動(dòng)點(diǎn)問題常見的四種類型：
1.教師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模仿。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽，在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、品味。1.三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，通過(guò)全等或相似，探究構(gòu)成的新圖形與原圖形的邊或角的關(guān)系。
2.四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿四邊形的邊運(yùn)動(dòng)，通過(guò)探究構(gòu)成的新圖形與原圖形的全等或相似，得出它們的邊或角的關(guān)系。
3.這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價(jià)值、理想、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)、責(zé)任、友誼、愛心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多則材料。如果學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動(dòng)的材料,寫起文章來(lái)還用亂翻參考書嗎?3.圓中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，探究構(gòu)成的新圖形的邊角等關(guān)系。
4.直線、雙曲線、拋物線中的動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)點(diǎn)沿直線、雙曲線、拋物線運(yùn)動(dòng)，探究是否存在動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形或與已知圖形相似等問題。
五、解決動(dòng)態(tài)問題一般步驟：
（1）用數(shù)量來(lái)刻畫運(yùn)動(dòng)過(guò)程。因?yàn)樵诓煌倪\(yùn)動(dòng)階段，同一個(gè)量的數(shù)學(xué)表達(dá)方式會(huì)發(fā)生變化，所以需要分類討論。有時(shí)符合試題要求的情況不止一種，這時(shí)也需要分類討論。
（2）畫出符合題意的示意圖。
（3）根據(jù)試題的已知條件或者要求列出算式、方程或者數(shù)量間的關(guān)系式。
【例題1】（點(diǎn)動(dòng)題）如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E 是 BC 中點(diǎn)，點(diǎn) F 是邊 CD 上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△AEF 的周長(zhǎng)最小時(shí)，則 DF 的長(zhǎng)為（ ???）
A.1 ????????B.2 ????????C.3 ?????????D.4
【答案】D
【解析】如圖，作點(diǎn)E 關(guān)于直線CD 的對(duì)稱點(diǎn) E′，連接 AE′，交 CD 于點(diǎn) F.
∵在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝CE′＝4.
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴CF∥AB，△CE′F∽△BE′A.
CE′/BE′=CF/AB
4/(8+4)=CF/6
解得 CF＝2.
∴DF＝CD－CF＝6－2＝4.
熱點(diǎn)二：線動(dòng)
【例題2】（線動(dòng)題）如圖 ，量角器的直徑與直角三角板 ABC 的斜邊 AB 重合，其中量角器 0 刻度線的端點(diǎn) N 與點(diǎn) A 重合，射線 CP 從 CA 處出發(fā)沿順時(shí)針方向以每秒 3°的速度旋轉(zhuǎn)，CP 與量角器的半圓弧交于點(diǎn) E，第 24 秒，點(diǎn) E 在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是________．
【答案】144°
【解析】連接 OE，∵∠ACB＝90°，
∴A，B，C 在以點(diǎn) O 為圓心，AB 為直徑的圓上．
∴點(diǎn) E，A，B，C 共圓．
∵∠ACE＝3°×24＝72°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝144°.
∴點(diǎn) E 在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是 144°.
【例題3】（面動(dòng)題）如圖 Z10-4，將一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD 和一個(gè)長(zhǎng)為 2，寬為 1 的長(zhǎng)方形 CEFD 拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形 ABEF.現(xiàn)將小長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)當(dāng)點(diǎn) D′恰好落在 EF 邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的值；
(2)如圖 Z10-5，G 為 BC 中點(diǎn)，且 0°＜α＜90°，求證：GD′＝E′D；
(3)小長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，△ DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
?
【答案】見解析。
【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及三角形全
等的判定與性質(zhì)．
(1)∵長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CE′F′D′，
∴CD′＝CD＝2.
在 Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°.
∵CD∥EF，∴∠α＝30°.
（2）證明：∵G 為 BC 中點(diǎn)，∴CG＝1.∴CG＝CE.
∵長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CE′F′D′，
∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG.
∴∠GCD′＝∠E′CD＝90°＋α.
（3）能．理由如下：
∵四邊形 ABCD 為正方形，∴CB＝CD.
∵CD＝CD′，
∴△BCD ′與△ DCD′為腰相等的兩個(gè)等腰三角形．
當(dāng)∠BCD′＝∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′.
①當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，
②當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，
綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△DCD′與△CBD′全等．
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