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專題33??最值問題

在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見題型，圍繞最大（小）值所出的數(shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：

1.二次函數(shù)的最值公式

二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)且）其性質(zhì)中有

①若當(dāng)時(shí)，y有最小值。；

②若當(dāng)時(shí)，y有最大值。。

2.一次函數(shù)的增減性

?一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大（小）值；但當(dāng)時(shí)，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大（?。┲?。

3. 判別式法

根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程；再根據(jù)x是實(shí)數(shù)，推得，進(jìn)而求出y的取值范圍，并由此得出y的最值。

4.構(gòu)造函數(shù)法

“最值”問題中一般都存在某些變量變化的過程，因此它們的解往往離不開函數(shù)。

5. 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為k。

6. 零點(diǎn)區(qū)間討論法

用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對(duì)值符號(hào)，然后求出y在各個(gè)區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個(gè)定義域上的最大值。

7. 利用不等式與判別式求解

在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。

8. “夾逼法”求最值

在解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為“夾逼法”。

【例題1】（經(jīng)典題）二次函數(shù)y=2（x﹣3）²﹣4的最小值為　 ???　．

【答案】﹣4．

【解析】題中所給的解析式為頂點(diǎn)式，可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出解答．

二次函數(shù)y=2（x﹣3）²﹣4的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4），

所以最小值為﹣4．

【例題2】（2018江西）如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°，若點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長的最大值是　 ?　．

【答案】．

【解析】根據(jù)中位線定理得到MN的最大時(shí)，BC最大，當(dāng)BC最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

如圖，∵點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴MN=BC，

∴當(dāng)BC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，當(dāng)BC是直徑時(shí)，BC最大，

連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)C′，連接AC′，

∵BC′是⊙O的直徑，

∴∠BAC′=90°．

∵∠ACB=45°，AB=5，

∴∠AC′B=45°，

∴BC′===5，

∴MN_最大=．

【例題3】（2019湖南張家界）已知拋物線y＝ax²＋bx＋c（a≠0）過點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC＝3．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；

（3）點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)及最大面積的值；

（4）若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問AQ＋QC是否存在最小值?若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【思路分析】（1）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出a、b、c的值（當(dāng)然用兩根式做更方便）；（2）先證四邊形AMBD為矩形，再證該矩形有一組鄰邊相等，即可證明該四邊形為正方形；（3）如答圖2，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，令P(m，m²－4m＋3)，易知直線BC的解析式為y＝－x＋3，則E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m²－4m＋3)＝－m²＋3m．再由S_△PBC＝S_△PBE＋S_△CPE，轉(zhuǎn)化為PE?OB＝×3×(－m²＋3m)，最后將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式即可鎖定S_△PBC的最大值與點(diǎn)P坐標(biāo)；（4）解決本問按兩步走：一找（如答圖3，設(shè)OQ＝t，則CQ＝3－t，AQ＋QC＝，取CQ的中點(diǎn)G，以點(diǎn)Q為圓心，QG的長為半徑作⊙Q，則當(dāng)⊙Q過點(diǎn)A時(shí)，AQ＋QC＝⊙Q的直徑最?。?、二求（由?AQ＝QC，解關(guān)于t的方程即可）．

【解題過程】（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋c（a≠0）過點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，

∴令拋物線解析為y＝a(x－1)(x－3)．

∵該拋物線過點(diǎn)C(0，3)，

∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．

∴拋物線的解析式為y＝(x－1)(x－3)，即y＝x²－4x＋3．

∵y＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，－1)．

綜上，所求拋物線的解析式為y＝x²－4x＋3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)．

（2）如答圖1，連接AD、BD，易知DA＝DB．

∵OB＝OC，∠BOC＝90°，

∴∠MBA＝45°．

∵D(2，－1)，A(3，0)，

∴∠DBA＝45°．

∴∠DBM＝90°．

同理，∠DAM＝90°．

又∵AM⊥BC，

∴四邊形ADBM為矩形．

又∵DA＝DB，

∴四邊形ADBM為正方形．

（3）如答圖2，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，令P(m，m²－4m＋3)，易知直線BC的解析式為y＝－x＋3，則E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m²－4m＋3)＝－m²＋3m．

?∵S_△PBC＝S_△PBE＋S_△CPE＝PE?BF＋PE?OF＝PE?OB＝×3×(－m²＋3m)

＝－?(m－)²＋，

∴當(dāng)m＝時(shí)，S_△PBC有最大值為，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)．

（4）如答圖3，設(shè)OQ＝t，則CQ＝3－t，AQ＋QC＝，

取CQ的中點(diǎn)G，以點(diǎn)Q為圓心，QG的長為半徑作⊙Q，則當(dāng)⊙Q過點(diǎn)A時(shí)，AQ＋QC＝⊙Q的直徑最小，

此時(shí)，，解得t＝－1，

于是AQ＋QC的最小值為3－t＝3－(－1)＝4－．

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