專題17 等腰、等邊三角形問題

一、等腰三角形
1. 定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角.
2.等腰三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．
性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．
3.等腰三角形的性質(zhì)的作用
性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．
性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．
4.等腰三角形是軸對稱圖形
等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．
5.等腰三角形的判定
如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.
??? 要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.
二、等邊三角形
1. 定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形．
2. 性質(zhì)
性質(zhì)1：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°；
性質(zhì)2：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線。
3.判定
（1） 三個角都相等的三角形是等邊三角形；
（2） 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；
（3） 有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。
三、含30的直角三角形的性質(zhì)
在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它對的等于的一半.
四、解題方法要領(lǐng)
1.等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時幾何圖形中不存在
等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。
2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問
題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。
3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對已知的邊和角進行討論，分類的標準一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。

【例題1】（2019?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)；
（2）求證：FB＝FE．

【答案】見解析。
【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．

【例題2】（2019?黑龍江哈爾濱）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，點E為AD邊上一點，連接BD.CE，CE與BD交于點F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，則BC的長為　?? ?。?

【答案】2
【解析】連接AC交BD于點O，由題意可證AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通過證明△EDF是等邊三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的長．如圖，連接AC交BD于點O

∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等邊三角形，∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝＝2
∴BC＝＝2
【例題3】（2019?黃石）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（　　）

A．125°?B．145°?C．175°?D．190°
【答案】C
【解析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，即可得到△CDF是等邊三角形，進而得到∠ACD＝60°，根據(jù)∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．
∵CD⊥AB，F(xiàn)為邊AC的中點，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故選：C．

一、選擇題
1.（2019寧夏） 如圖，在△ABC中，，點D和E分別在AB和AC上，且．連接DE，過點A的直線GH與DE平行，若，則的度數(shù)為（???? ）．
A．?????????????? B．?????????????? C．???????????? D．?
???
【答案】C
【解析】】平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．
因為，所以，因為，所以，因為，所以，故本題正確選項為C．
2.（2019?浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（ ?? ?）?
?
A.?60°??????????????????????????????B.?65°???????????????????????????C.?75°????????????????????????????????D.?80°
【答案】 D??
【解析】考點是三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì) 。??
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
設(shè)∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
3.（2019?湖南長沙）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是（　　）

A．20°????? B．30°????? C．45°?? D．60°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作圖可知MN為AB的中垂線，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°
4.（2019?湖南長沙）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是（　?。?

A．2?B．4?C．5?D．10
【答案】B
【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂線段最短即可解決問題．
如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，
∵tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，
則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍棄），∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值為4．
5.（2019?湖南邵陽）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，線段DF與AB相交于點E，則∠BED等于（　　）

A．120°?B．108°?C．72°?D．36°
【答案】B
【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜邊BC上的中線，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
二、填空題
6.（2019?湖南懷化）若等腰三角形的一個底角為72°，則這個等腰三角形的頂角為　?。?br /> 【答案】36°．
【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
∵等腰三角形的一個底角為72°，
∴等腰三角形的頂角＝180°﹣72°﹣72°＝36°
7.（2019?湖南邵陽）如圖，將等邊△AOB放在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），點B在第一象限，將等邊△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′，則點B′的坐標是　?。?

【答案】（﹣2，﹣2）．
【解析】作BH⊥y軸于H，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，再計算出BH，從而得到B點坐標為（2，2），然后根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特征求出點B′的坐標．
作BH⊥y軸于H，如圖，
∵△OAB為等邊三角形，
∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，
∴BH＝OH＝2，
∴B點坐標為（2，2），
∵等邊△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′，
∴點B′的坐標是（﹣2，﹣2）．
故答案為（﹣2，﹣2）．

8.（2019?湖北天門）如圖，為測量旗桿AB的高度，在教學樓一樓點C處測得旗桿頂部的仰角為60°，在四樓點D處測得旗桿頂部的仰角為30°，點C與點B在同一水平線上．已知CD＝9.6m，則旗桿AB的高度為　?? 　m．

【答案】14.4．
【解析】作DE⊥AB于E，如圖所示：
則∠AED＝90°，四邊形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，
∴∠ADC＝90°+30°＝120°，
∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，
∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝4.8m，
∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m

9.（2019?貴州畢節(jié)）如圖，以△ABC的頂點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的大小為　??? ?。?

【答案】34°．
【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，進而根據(jù)角的和差得出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°．
∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°
∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
10. （2019?湖北武漢）如圖，在?ABCD中，E.F是對角線AC上兩點，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，則∠ADE的大小為　?? 　．

【答案】21°．
【解析】設(shè)∠ADE＝x，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，證出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．
設(shè)∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°．
11.(2019黑龍江綏化)如圖,在△ABC中,AB＝AC,點D在AC上,且BD＝BC＝AD,則∠A＝______度.

【答案】16
【解析】∵BD＝AD,設(shè)∠A＝∠ABD＝x,∴∠BDC＝2x,∵BD＝BC,∴∠C＝∠BDC＝2x,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C＝2x,∴x+2x+2x＝180°,∴x＝36°.
三、解答題
12.（2019湖北孝感）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，BC與AD交于點E，AC＝BD，求證：AE＝BE．

【答案】見解析。
【解析】由HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
證明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AE＝BE．
13.（2019?杭州）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．
（2）以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)．

【答案】見解析。
【解析】（1）證明：∵線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，
∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；
（2）根據(jù)題意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．
14．（2019?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度數(shù)；
（2）若點E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長線于點F．求證：AE＝FE．

【答案】見解析。
【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于點D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠C＝42°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于點D，∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．
15．（2019?南岸區(qū)）如圖，直線AB∥CD，∠ACD的平分線CE交AB于點F，∠AFE的平分線交CA延長線于點G．
（1）證明：AC＝AF；
（2）若∠FCD＝30°，求∠G的大?。?

【答案】見解析。
【解析】（1）證明：∵∠ACD的平分線CE交AB于點F，
∴∠ACF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AC＝AF；
（2）解：∵∠FCD＝30°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠GAF＝60°，∠AFC＝30°，
∵∠AFE的平分線交CA延長線于點G．
∴＝75°，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣60°﹣75°＝45°．
16．（2019?攀枝花）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD＝CE．求證：
（1）點D在BE的垂直平分線上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．

【答案】見解析。
【解析】（1）連接DE，
∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC邊上的中線，∴AE＝CE，∴DE＝CE，
∵BD＝CE，∴BD＝DE，
∴點D在BE的垂直平分線上；
（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．

17.（2019?湖北十堰）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，點E為C延長線上一點，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半徑．

【答案】見解析。
【解析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形或等腰三角形．
（1）如圖，連接OD，AD，
∵AC是直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半徑
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
設(shè)DC＝x，則AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝，即＝＝
∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半徑為7．

18.（2019?甘肅武威）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在BC邊上，⊙D經(jīng)過點A和點B且與BC邊相交于點E．
（1）求證：AC是⊙D的切線；
（2）若CE＝2，求⊙D的半徑．

【答案】見解析。
【解析】連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切線；連接AE，推出△ADE是等邊三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到結(jié)論．
（1）證明：連接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切線；
（2）解：連接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半徑AD＝2．

19. （2019?湖南衡陽）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動點P從點A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運動．動點Q同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動．設(shè)運動時間為以t（s）．過點P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．
（1）當t為何值時，△BPQ為直角三角形；
（2）是否存在某一時刻t，使點F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；
（3）求DE的長；
（4）取線段BC的中點M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當t為何值時，AB'的值最?。坎⑶蟪鲎钚≈担?

【答案】見解析。
【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∴當BQ＝2BP時，∠BPQ＝90°，
∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝3，
∴t＝3時，△BPQ是直角三角形．
（2）存在．
理由：如圖1中，連接BF交AC于M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，
∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，
∵EF∥BQ，
∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，
∴EF＝2EM，
∴t＝2?（3﹣t），
解得t＝3．
（3）如圖2中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝60°，
∵PK∥BC，
∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，
∴△APK是等邊三角形，∴PA＝PK，
∵PE⊥AK，∴AE＝EK，
∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，
∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，
∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．
（4）如圖3中，連接AM，AB′

∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，
∴AM＝＝3，
∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，
∴AB′的最小值為3﹣3．

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