2021學年高一下學期入學考試數(shù)學（一）

一、單選題

1．數(shù)列，3，，，…，則是這個數(shù)列的第（????）

A．8項 B．7項 C．6項 D．5項

【答案】C

【解析】根據(jù)已知中數(shù)列的前若干項，我們可以歸納總結出數(shù)列的通項公式，進而構造關于的方程，解方程得到答案．

【詳解】

解：數(shù)列，3，，，，

可化為：數(shù)列，，，，，

則數(shù)列的通項公式為：，

當時，則，

解得：，

故是這個數(shù)列的第6項.

故選：C．

【點睛】

本題考查的知識點是數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的通項公式，其中根據(jù)已知歸納總結出數(shù)列的通項公式，是解答的關鍵．

2．式子的值為（????）

A． B．0 C．1 D．

【答案】D

【解析】利用兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值求解即可．

【詳解】

解：根據(jù)題意，．

故選：D．

【點睛】

本題考查兩角和與差的余弦公式，特殊角的三角函數(shù)求值，考查計算能力．

3．等比數(shù)列中，，則（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由等比數(shù)列的性質，若，則，將已知條件代入運算即可.

【詳解】

解：因為等比數(shù)列中，，

由等比數(shù)列的性質可得，

所以，

故選：C.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的性質，重點考查了運算能力，屬基礎題.

4．設等差數(shù)列的前項和為，若，則（????）

A．4 B．8 C．16 D．24

【答案】B

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的等和性與前項和的公式求解即可.

【詳解】

由得,即故.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的等和性與前項和的公式,屬于基礎題.

5．設，則（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根據(jù)輔助角公式、誘導公式和余弦的倍角公式進行轉化即可得到結論．

【詳解】

解：因為，根據(jù)輔助角公式化簡得：

，

即：，

又因為

，

即：.

故選：D．

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的輔助角公式、誘導公式和余弦的倍角公式是解決本題的關鍵．

6．某船在海平面處測得燈塔在北偏東60°方向，與相距6千米處該船由處向正北方向航行8千米到達處，這時燈塔與船相距（????）

A．千米 B．千米 C．6千米 D．8千米

【答案】A

【解析】由題意畫出示意圖，利用余弦定理解三角形即可求得結果．

【詳解】

解：由題意，示意圖如下：

已知，，，

由余弦定理得：

，

所以．

所以燈塔與船之間的距離為：千米.

故選：A．

【點睛】

本題考查了余弦定理的實際應用，考查計算能力．

7．函數(shù)的最小值為（????）

A． B．0 C．1 D．

【答案】A

【解析】根據(jù)二倍角的余弦公式化簡得函數(shù)，且，再利用二次函數(shù)的性質求得的最小值，從而求得結果．

【詳解】

解：函數(shù)，

而，則，

故當時，函數(shù)取得最小值為-2，

函數(shù)的最小值為-2.

故選：A．

【點睛】

本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，以及二倍角的余弦公式的應用，還利用二次函數(shù)的性質求函數(shù)最值．

8．已知終邊與單位圓的交點，則的值等于（????）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【解析】先根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義判斷角所在的象限，得出，再對所求式子利用二倍角公式化簡即可．

【詳解】

解：終邊與單位圓的交點，可知為第二象限角，

則，

由于

.

故選：C．

【點睛】

本題考查了同角三角函數(shù)關系和二倍角正弦、余弦公式的應用，以及三角函數(shù)的定義，考查運算能力．

9．在△ABC中，角的對邊分別是，若，，則( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴②，由①②可得，可得，故選B.

10．數(shù)列的前項和為，若，則（ ）

A．20 B．15 C．10 D．-5

【答案】A

【解析】試題分析：當時，適合上式，

所以，所以因為，所以，選A

【考點】等差數(shù)列的性質

11．在中，邊上的高等于，則（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，結合勾股定理和余弦定理，求出，，再由三角形面積公式，可得．

【詳解】

解：在中，，邊上的高等于，

，

由余弦定理得：

，

故的面積為：

，

，

故選：A．

【點睛】

本題考查了三角形中的幾何計算，涉及余弦定理和三角形面積的應用，考查化簡計算能力．

12．在中，已知，給出以下四個論斷

①

②

③

④

其中正確的是（????）

A．②④ B．①③ C．①④ D．②③

【答案】A

【解析】先利用同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角公式化簡整理題設等式求得進而求得進而求得①等式不一定成立，排除①；利用兩角和公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質求得其范圍符合，得②正確；不一定等于1，排除③；利用同角三角函數(shù)的基本關系可知，進而根據(jù)可知，進而可知二者相等，得④正確．

【詳解】

解：，，

，

則：，即：，

整理求得，

，

不一定成立，①不正確；

，

由于，則：，

，

，所以②正確；

，

，

所以，所以④正確；

而不一定成立，故③不正確；

綜上知②④正確.

故選：A．

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，涉及同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式、兩角和公式、正弦函數(shù)的性質、三角形的內(nèi)角關系等知識的應用，考查了學生綜合分析問題和推理運算能力．

二、填空題

13．已知中，，那么________．

【答案】45°

【解析】直接利用正弦定理即可得解．

【詳解】

解：由正弦定理可得：，

即，

又因為，

即，則，

所以.

故答案為：．

【點睛】

本題考查了利用正弦定理解三角形，屬于基礎題．

14．等差數(shù)列的前項和為，若，則________．

【答案】18

【解析】根據(jù)題意，由成等差數(shù)列，列方程組，解方程即可得出的值.

【詳解】

解：由題可知，為等差數(shù)列的前項和，

由等差數(shù)列的性質可知，成等差數(shù)列，

即：，

因為，

則：，

解得：.

故答案為：18.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列前項和的性質和等差中項的應用，考查計算能力.

15．若，則________．

【答案】

【解析】根據(jù)題意，將兩個式子同時兩邊平方得，再兩式相加，結合同角三角函數(shù)的平方關系和兩角和與差的正弦公式，即可求出結果.

【詳解】

解：由題知，，

則

即：

則①+②得：，

解得：，

則.

即：.

故答案為：.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)求值，涉及了同角三角函數(shù)的平方關系以及兩角和與差的正弦公式的應用.

16．設函數(shù)，其中，若且圖象的兩條對稱軸間的最近距離是．若是的三個內(nèi)角，且，則的取值范圍為__________．

【答案】

【解析】利用兩角差的余弦函數(shù)公式及余弦函數(shù)的圖象和性質可求，，結合范圍，可求，由題意可求周期為，利用周期公式可求，從而可得函數(shù)解析式，由題意可得，結合范圍，可解得，從而，利用三角函數(shù)恒等變換的應用可將化為，結合范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可求其取值范圍．

【詳解】

解：由題知，，

，得，，

，取，得，

函數(shù)圖象的兩條對稱軸間的最近距離是，

周期為，得，

得．

由，得，

是的內(nèi)角，，

，得，

，從而．

由

，?

，，

，即，，

因此，的取值范圍是．

故答案為：.

【點睛】

本題考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質，周期公式，三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了計算能力和轉化思想．

三、解答題

17．計算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；?（2）0.

【解析】（1）根據(jù)，結合兩角和與差的正弦公式化簡即可求得答案.

（2）根據(jù)兩角和與差的正切公式求得，進而代入化簡即可得出答案.

【詳解】

解：（1）由

．

；

（2）由，

可得，

所以

，

故原式.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，涉及兩角和與差的正弦公式和兩角和與差的正切公式的應用，考查化簡求值能力.

18．如圖，在中，已知，是邊上的一點，，，.

（1）求的面積；

（2）求邊的長.

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）在中，根據(jù)余弦定理求得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的長．

詳解：（1）在中，由余弦定理得

，

∵為三角形的內(nèi)角，

， ???

?，

?．

（2）在中，，

由正弦定理得：

∴．

點睛：解三角形時首先要確定所要解的的三角形，在求解時要根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)判斷使用正弦定理還是余弦定理以及變形的方向，另外求解時注意三角形內(nèi)角和定理等知識的靈活應用．

19． ???已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=，設b_n=，n∈N．

（1）證明{b_n}是等比數(shù)列（指出首項和公比）；

（2）求數(shù)列{log₂b_n}的前n項和T_n．

【答案】（1）見解析；（2）T_n=.

【解析】【詳解】試題分析：（1）由a_n+1=，得=2·，再利用等比數(shù)列的定義即可得出．

（2）由（1）求出通項得log₂b_n=log₂?2^n-1=n-1，利用等差數(shù)列求和即可.

試題解析：

（1）由a_n+1=，得=2·．所以b_n+1=2b_n，即．

又因為b₁=，所以數(shù)列{b_n}是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列．

（2）由（1）可知b_n=1·2^n-1=2^n-1，所以log₂b_n=log₂?2^n-1=n-1．

則數(shù)列{log₂b_n}的前n項和T_n=1+2+3+…+（n-1）=．

點睛：證明等比數(shù)列的一把方法有兩個：

(1).定義法，即;

(2).等比中項法：.

20．已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知成等差數(shù)列，且，求邊的值．

【答案】（1）；?（2）.

【解析】（1）首先利用輔助角公式進行化簡，將函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，利用整體代入法，進一步求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）由（1）結合，求得，利用余弦定理即可求出邊的值．

【詳解】

（1），

令．

則．

的單調(diào)增區(qū)間為

（2）由，得，

，

，

，

又

由余弦定理得，

，．

【點睛】

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，正弦定理、余弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力．

21．已知分別是角的對邊，滿足

（1）求的值；

（2）的外接圓為圓(在內(nèi)部)，，判斷的形狀，并說明理由.

【答案】（1）；（2）等邊三角形.

【解析】試題分析：（I）根據(jù)正弦定理把化成邊的關系可得，約去，即可求得；（II）設中點為，故,圓的半徑為,由正弦定理可知,所以,再根據(jù)余弦定理求得，據(jù)此判斷出三角形性質.

試題解析：（I）由正弦定理可知,, 則

,

,

可得.

（II）記中點為，

故,圓的半徑為,

由正弦公式可知,故,

由余弦定理可知,, 由上可得,又,則,故

為等邊三角形.

【考點】正弦定理、余弦定理解三角形.

22．某市為了改善居民的休閑娛樂活動場所，現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示，已知：米，米，擬在這塊草坪內(nèi)鋪設三條小路、和，要求點是的中點，點在邊上，點在邊時上，且.

（1）設，試求的周長關于的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；

（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設費用均為元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用.

【答案】（1），定義域為；

（2）當米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元．

【解析】（1）利用勾股定理通過，得出，結合實際情況得出該函數(shù)的定義域；

（2）設，由題意知，要使得鋪路總費用最低，即為求的周長最小，求出的取值范圍，根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性可得出的最小值.

【詳解】

（1）由題意，在中，，，，，

中，，，，又，

，

所以，即.

當點在點時，這時角最小，求得此時；

當點在點時，這時角最大，求得此時.

故此函數(shù)的定義域為；

（2）由題意知，要求鋪路總費用最低，只需要求的周長的最小值即可．

由（1）得，，

設，，

則，

由，得，，則，

從而，當，即當時，，

答：當米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元．

【點睛】

本題考查三角函數(shù)模型的實際應用，同時也考查了正弦定理、勾股定理的應用，要根據(jù)題意構建函數(shù)解析式，并利用合適的方法求解，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.

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