第5課時　平面向量的坐標運算、

平面向量共線的坐標表示

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基礎(chǔ)達標(水平一)

1.下列說法中正確的個數(shù)是(　　).

①向量在平面直角坐標系xOy內(nèi)的坐標是唯一的;

②若=(1,2),則的終點坐標是(1,2);

③若的終點坐標為(1,2),則=(1,2).

A.0　　　　B.1　　　　?C.2　　　　?D.3

【解析】因為i,j為正交基底,所以①正確;向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān),故②③不正確.

【答案】B

2.已知a=(x-1,2),b=(2,1),當(dāng)a∥b時,實數(shù)x的值是(　　).

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】因為a=(x-1,2),b=(2,1),且a∥b,所以(x-1)×1-2×2=0,解得x=5.

【答案】C

3.若平面直角坐標系內(nèi)的兩個向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ為實數(shù)),則實數(shù)m的取值范圍是(　　).

A.(-∞,2) B.(2,+∞)

C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

【解析】由題意知,向量a與b不共線,所以3m-2-2m≠0,即m≠2.

【答案】D

4.已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=(　　).

A.(7,4) B.(-7,-4)

C.(-1,4) D.(1,4)

【解析】設(shè)點C的坐標為(x,y),∵A(0,1),=(-4,-3),

∴解得

∴點C的坐標為(-4,-2).

又B(3,2),∴=(-7,-4),故選B.

【答案】B

5.已知=(k,12),=(4,5),=(10,k),若A,B,C三點共線,則實數(shù)k=　　　　.?

【解析】由題意,得=(k-4,7),=(6,k-5).

因為A,B,C三點共線,所以(k-4)(k-5)-6×7=0.

解得k=-2或k=11.

【答案】-2或11

6.設(shè)向量繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到向量,且2+=(7,9),則向量=　　　　.?

【解析】設(shè)=(m,n),則=(-n,m),所以2+=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得因此,=.

【答案】

7.已知A,B,C三點的坐標分別為(-1,0),(3,-1),(1,2),且=,=,求證:∥.

【解析】設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),

依題意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).

∵==,

==,

又(x₁+1,y₁)=,

∴x₁=-,y₁=,即E.

又(x₂-3,y₂+1)=,

∴x₂=,y₂=0,即F,∴=.

∵4×-×(-1)=0,

∴∥.

拓展提升(水平二)

8.已知在?ABCD中,點A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),則點D的坐標為(　　).

A.(-2,5) B.(-3,5)

C.(5,-5) D.(-3,-5)

【解析】設(shè)點D的坐標為(x,y),

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴=.

又∵=(4,0),=(1-x,-5-y),

∴1-x=4且-5-y=0,∴x=-3,y=-5.

故點D的坐標為(-3,-5).

【答案】D

9.在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C所在直線方程為(　　).

A.3x+2y-11=0 B.2x+y-5=0

C.2x-y=0 D.x+2y-5=0

【解析】(法一)設(shè)點C(x,y),則=(x,y),=(3,1),=(-1,3).

由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β),

于是消去α,β得x+2y-5=0.

(法二)由平面向量共線定理知,當(dāng)=α+β,α+β=1時,點A,B,C共線.

因此點C的軌跡為直線AB,故所求軌跡方程為x+2y-5=0.

【答案】D

10.若點O為坐標原點,且點A,B,C的坐標分別為(4,0),(4,4),(2,6),則直線AC與直線OB的交點P的坐標為　　　　.?

【解析】設(shè)交點P的坐標為(x,y),

因為P為直線AC與直線OB的交點,所以點P在直線OB上,

所以與共線.

又=(x,y),=(4,4),

所以4x-4y=0,即x-y=0,　①

同理,與共線.

因為=(x-4,y),=(-2,6),

所以(x-4)×6+2y=0,即6x+2y-24=0,?、?/span>

聯(lián)立①②,解得x=3,y=3,故點P的坐標為(3,3).

【答案】(3,3)

11.已知點A(3,-4),B(-1,2),點P在直線AB上,且||=2||,求點P的坐標.

【解析】設(shè)點P的坐標為(x,y),||=2||,

當(dāng)點P在線段AB上時,=2,

∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),

∴解得

∴點P的坐標為.

當(dāng)點P在線段AB的延長線上時,=-2,

∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),

∴解得

∴點P的坐標為(-5,8).

綜上所述,點P的坐標為或(-5,8).

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