川沙中學 2018 學年高二第一學期數(shù)學期末考試卷
一、填空題（每題 3 分）
?
1.?設(shè)拋物線的焦點坐標為（1，0），則此拋物線的標準方程為? .
?
2.?已知復數(shù)?z?=?1?+?3i?（?i?為虛數(shù)單位），則它的虛部為? .
?
3.?若復數(shù)?z?滿足2z?-?3?=?1?+?5i?（?i?是虛數(shù)單位），則?z?=?? .
?
4.?設(shè)?m???R?，若復數(shù)?z?=?(1?+?mi)(1?+?i)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則?m?= .
?
5.?
將橢圓的參數(shù)方程ì?x?=?2?cosq??（q為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為普通方程? .
???y?=????3?sinq
?
2
x2 -?2
?
6.?已知拋物線 y
?
? .
=?8x 的焦點與雙曲線
a2
y =?1 的右焦點重合，則雙曲線的漸近線方程為
?
7.?已知圓?x2?+?y2 ?=?5?和點?A(2,?-1)，則過點?A?的圓的切線方程為.?
?
8.?
若復數(shù) z?=?x?+?yi?(x, y???R)復平面上對應(yīng)的點在直線3x?+?4?y?-?15?=?0?上，則 z?的最小值是
?
? .
?
9.?已知拋物線型拱橋的頂點躡水面?2 米時，量得水面寬為?8 米，當水面下降?1 米后，水面的寬為? 米.
?
x2
10.?
已知橢圓 a2
y =?1(a >?0)上的一點 P 也在拋物線 y
3
2 =?9 x 上，設(shè)拋物線焦點為 F ，若
4
PF?=?25?，則?a?= .
16
?
11.?已知a是實系數(shù)一元二次方程 x2?-?(2m?-?1)x?+?m2?+?1?=?0?的一個虛數(shù)根，且 a?￡?2?，則實
?
數(shù)?m?的取值范圍是? .
?
x2 2
M 滿足：
=?2MF1?×?MF2?，則?MF1?+?2MF2?的最大值為? .
二、選擇題（每題 3 分）
13.?在復數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中，假命題的是（ ）
A.若?z?為實數(shù)，則?z?=?z B.若?z?=?z?，則?z 為實數(shù)
?
C.若?z?×?z?為實數(shù)，則?z?為實數(shù) D.若?z?為實數(shù)，則?z?×?z?為實數(shù)
?
14.?當?ab?<?0?時，方程?ax2?-?ay2 ?=?b?所表示的曲線是（ ）
?
A.焦點在?x?軸的橢圓上 B.焦點在?x?軸的雙曲線
?
C.焦點?y?在軸的橢圓 D.焦點在?y?軸的雙曲線
15.?若實系數(shù)一元二次方程 z2?+?z?+?m?=?0?有兩虛數(shù)根a、b，且 a- b?=?3?，那么實數(shù) m?的值
?
是（ ）
?
A. 5
2
?
B.1
?
C.?-1
D.?-?5
2
16.已知點 A(1, -2)， B (2, 0)， P 為曲線 y =
?
上任意一點，則 AP ×?AB 的取值范圍為
?
（ ）
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A.?[-1,?7]
B. [1, 7]
C. é-1, 3 +?2 3ù
D. é1, 3 +?2 3ù
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三、解答題（第 17 題共 8 分，第 18 題共 8 分，第 19 題共 10 分，第 20 題共 12 分，第 21
題共 14 分）
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17.?設(shè) z 為關(guān)于 x?的方程 x2?+?mx?+?n?=?0?， m, n???R?的虛根， i?為虛數(shù)單位.
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（1）?當 z?=?1?+?i?時，求 m、n?的值；
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（2）?在（1）的條件下，若w=?n?+?ai, (a???R)， w?￡?3?，求 a?的取值范圍。
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?
?
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?
?
?
?
18.?已知動點 M?(x, y?)到點 F?(2, 0)的距離為 d1?，動點 M?(x, y?)到直線 x?=?3?的距離為 d2?，且
?
d1 ??= 6?.
d2 3
（1）?求動點 M (x, y?)的軌跡C?的方程；
（2）?若直線l?: y?=?x?-?2?交曲線C?于 P、Q?兩點，求DOPQ?的面積。
解：
?
?
19.?已知雙曲線C?: x2?-?y2?=?1?.
?
（1）?若經(jīng)過點 P?(0, -1)的直線l?與雙曲線C?的右支交于不同兩點 M、N?，求直線l?的斜率
?
的取值范圍；
?
（2）?在（1）的條件下，求線段 MN?的中垂線l￠?在 y?軸上的截距t 的取值范圍.
?
解：
?
?
?
?
?
?
20.?
如圖，已知滿足條件?z?-?3i?= -?i?（其中i?為虛數(shù)單位）的復數(shù)?z 在復平面?xOy?上的對應(yīng)點?Z?(x,?y?)的軌跡為圓C?（圓心為C?），定直線?m?的方程為?x?+?3y?+?6?=?0?，過?A(-1,?0)斜
率為 k 的直線l 與直線 m 相交于 N 點，與圓C 相交于 P、Q 兩點， M 是弦 PQ 中點.
?
?
（1）?若直線l?經(jīng)過圓心C?，求證： l?與 m 垂直；
?
?
?
?
（3）?設(shè)t?=?AM?×?AN?，試問t?是否為定值？若為定值，請求出t 的值，若t 不為定值，請說
?
明理由. 解：
?
?
?
?
?
?
21.?給出定理：在圓惟曲線中， AB 是拋物線G?: y2?=?2?px?(p?>?0)的條弦，
C 是 AB 的中點，
?
過點C 且平行于軸的直線與拋物線的交點為 D .若 A、B 兩點縱坐標之差的絕對值
yA -?yB
=?a (a >?0)， x?則
DADB 的面積 D SDADB =
a3
?
16?p
，試運用上述定理求解以下各題：
（1）?若 p =?2?， AB?所在直線的方程為 y?=?2x?-?4?， C?是 AB?的中點，過C?且平行于 x?軸的
?
直線與拋物線G?的交點為 D ，求 SDADB ；
?
（2）?已知 AB?是拋物線G?: y2?=?2?px?(p?>?0)的一條弦， C?是 AB?的中點，過點C?且平行于
?
x 軸的直線與拋物線的交點為 D ， E、F 分別為 AD 和 BD 的中點，過 E、F 且平行于 x 軸的直線與拋物線G?: y2 =?2 px (p >?0)分別交于點 M、N ，若 A、B 兩點縱坐標之差的絕對值
yA -?yB
=?a (a >?0)，求 SDAMD 和 SDBND ：
?
-
請你在上述問題的啟發(fā)下，設(shè)計一種方法求拋物線： y2?=?2?px?(p?>?0)與弦 AB?圍成
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成的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.
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