生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的．那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決．
還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法．要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決．
二、加乘原理應用
應用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，所以完成任務的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和．
⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積．
⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理， 綜合分析，正確作出分類和分步．
加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”．
乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互．不．影．響．的獨．立．步．驟．來完成，這幾步是完成這件任務缺．一．不． 可．的．，這樣的問題可以使用乘法原理解決．我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”．
?
1、五面五種顏色的小旗，任意取出幾面排成一行表示各種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？
?
【解析】分 5 種情況：
⑴取出一面，有 5 種信號；
⑵取出兩面：可以表示5′?4 =?20 種信號；
⑶取出三面：可以表示： 5′?4 ′?3 =?60 種信號；
（4）取出四面：可以表示： 5′?4′?3′?2 =120 種信號；
（4）取出五面：可以表示： 5′?4′?3′?2′1 =120 種信號；
由加法原理，一共可以表示： 5 +?20 +?60 +120 +120 =?325 種信號．
?
?
2、五種顏色不同的信號旗，各有 5 面，任意取出四面排成一行，表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？
【解析】每一個位置都有 5 種顏色可選，所以共有5′?5′?5′?5 =?625 種
?
?
3、由數(shù)字 4，5，7，8?可以組成多少個沒有重復數(shù)字的奇數(shù)？
?
【解析】2+6+12+12=32
?
?
?
4、由數(shù)字 0，1，2，3，4，5 可以組成多少個無重復數(shù)字的偶數(shù)？ 解答：3+13+52+156+312+312=848
5、有 5 張卡，分別寫有數(shù)字 2，3，4，5，6．如果允許 6 可以作 9 用，那么從中任意取出 3 張卡片，并排放在一起．問
（1）可以組成多少個不同的三位數(shù)？
（2）可以組成多少個不同的三位偶數(shù)？
?
（1）96
有?6 4×3×3=36
有?9 4×3×3=36
無?69 4×3×2=24
?
（2）48
有?6?在末尾 4×3×1=12
有?6?不在末尾 3×2×2=12
有?9 3×2×2=12
無?69 3×2×2=12
?
?
6、媽媽買了 7 件不同的禮物，要送給親朋好友的 4 個孩子每人一件．其中姐姐的兒子小強想從智力拼圖和遙
控汽車中選一個，朋友的女兒小玉想從學習機和遙控汽車中選一件．那么，媽媽送出這?4?件禮物共有? 種方法．
?
【解析】若將遙控汽車給小強，則學習機要給小玉，此時另外2 個孩子在剩余5 件禮物中任選2 件，有5′?4 =?60
種方法；若將遙控車給小玉，則智力拼圖要給小強，此時也有 20 種方法；若遙控車既不給小強、也
不給小玉，則智力拼圖要給小強，學習機要給小玉，此時仍然有 20 種方法．所以共有 60 種方法．
?
?
7、某件工作需要鉗工 2 人和電工 2 人共同完成．現(xiàn)有鉗工 3 人、電工 3 人，另有 1 人鉗工、電工都會．從 7
人中挑選 4 人完成這項工作，共有多少種方法？（6 級）
【解析】分兩類情況討論：
⑴都會的這 1 人被挑選中，則有：
①如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有 3 種方法，再選 2 名電工也有 3 種方法；
所以有3′?3 =?9 種方法；
②同樣，這人做電工，也有 9 種方法．
⑵都會的這一人沒有被挑選，則從 3 名鉗工中選 2 人，有 3 種方法；從 3 名電工中選 2 人，也有 3
種方法，一共有3′?3 =?9 種方法．
所以，根據(jù)加法原理，一共有9 +?9 +?9 =?27 種方法．
?
?
8、玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共4?節(jié)，用紅、黃、藍三種顏色給每節(jié)涂色．這家廠共可生產(chǎn)? 種顏色不同的玩具棒．
?
【解析】每節(jié)有3 種涂法，共有涂法3′?3′?3′?3 =?81 (種)．但上述81 種涂法中，有些涂法屬于重復計算，這是因為有些游戲棒倒過來放時的顏色與順著放時的顏色一樣，卻被我們當做兩種顏色計算了兩次．
可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點對稱時才沒有被重復計算， 關(guān)于中點對稱的游戲棒有
3′?3′1′1 =?9 (種)．故玩具棒最多有(81+?9) ??2 =?45 種不同的顏色．
9、從 6 名運動員中選出 4 人參加4 ′100 接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：
⑴甲不能跑第一棒和第四棒；
⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒
【解析】⑴先確定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有 5?種選擇，第四棒有 4?種選擇，剩下的四人中隨意選擇 2?個人跑第二、第三棒，有4?′?3?=?12?種，由乘法原理，共有： 5′?4?′12?=?240?種參賽方案
⑵先不考慮甲乙的特殊要求，從 6 名隊員中隨意選擇 4 人參賽，有6′?5′?4′?3 =?360 種選擇.考慮若甲
跑第一棒，其余 5 人隨意選擇 3 人參賽，對應5′?4 ′?3 =?60 種選擇，考慮若乙跑第二棒，也對應
5′?4 ′?3 =?60 種選擇，但是從 360 種中減去兩個 60 種的時候，重復減了一次甲跑第一棒且乙跑第
二棒的情況，這種情況下，對應于第一棒第二棒已確定只需從剩下的 4 人選擇 2 人參賽的4 ′?3 =?12
種方案，所以，一共有360 -?60′?2 +12 =?252 種不同參賽方案．
?
?
10、七位數(shù)的各位數(shù)字之和為 60 ，這樣的七位數(shù)一共有多少個？
?
【解析】七位數(shù)數(shù)字之和最多可以為9 ′?7 =?63． 63 -?60 =?3 ．七位數(shù)的可能數(shù)字組合為：
①9，9，9，9，9，9，6．
第一種情況只需要確定 6 的位置即可．所以有 6 種情況．
②9，9，9，9，9，8，7．
第二種情況只需要確定 8 和 7 的位置，數(shù)字即確定．8 有 7 個位置，7 有 6 個位置．所以第二種情況
可以組成的 7 位數(shù)有7 ′?6 =?42 個．
③9，9，9，9，8，8，8，
第三種情況，3 個 8 的位置確定即 7 位數(shù)也確定．三個 8 的位置放置共有7 ′?6′?5 =?210 種． 三個相同的 8 放置會產(chǎn)生3′?2 ′1?=?6 種重復的放置方式．
所以 3 個 8 和 4 個 9 組成的不同的七位數(shù)共有210 ??6 =?35 種．
所以數(shù)字和為 60 的七位數(shù)共有35 +?42 +?7 =?84 ．
?
?
11、從1到2006這2006個數(shù)中,共有多少個數(shù)與四位數(shù)8765相加時,至少發(fā)生一次進位？
【解析】1887。
先看相加時一次進位也沒有的數(shù)有多少。
個位數(shù)可以是 0，1，2，3，4，有 5?種選擇； 十位數(shù)可以是 0，1，2，3，有 4?種選擇；
百位數(shù)可以是 0，1，2，有 3?種選擇； 千位數(shù)可以是 0，1，有 2?種選擇。
除去 0，
5×4×3×2-1＝119(個)。
至少發(fā)生一次進位的數(shù)有 2006-119=1887(個)。
?
?
12、如圖所示的電子鐘可顯示從 00：00：00 到 23：59：59 的時間，在一晝夜內(nèi)（24 小時）鐘表上顯示的時間恰由數(shù)字 l，2，3，4，5，6 組成的共有多少種？
【解析】96
記時間為 ab：cd：ef，a 只能為 1 或 2。
當 a 為 1 時，c、e 不能為 1 或 6，b、d、f 不能為 1，有 4×3×3×2×1=72 種；
當 a?為 2?時，b?只能為 1?或 3，c、e?不能為 2?或 6，不能與 b?同，有 2×3×2×2×1=24?種；所以共有 72＋24=96?種。
13、由數(shù)字?0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008?排在第? 個．
?
【解析】比?2008?小的4?位數(shù)有2000?和2002?，比2008?小的3?位數(shù)有2?′?3′?3?=?18?（種），比2008?小的2?位數(shù)有
2?′?3?=?6?（種），比2008?小的1?位數(shù)有2?（種），所以2008?排在第2?+18?+?6?+?2?+1?=?29?（個）．
14、自然數(shù) 8336，8545，8782 有一些共同特征，每個數(shù)都是以 8 開頭的四位數(shù)，且每個數(shù)中恰好有兩個數(shù)字相同．這樣的數(shù)共有多少個？
?
【解析】兩個相同的數(shù)字是8 時，另一個8 有3 個位置可選，其余兩個位置有9 ′8?=?72 種填法，有 3′?9 ′8?=?216
個數(shù)；
兩個相同的數(shù)字不是 8 時，相同的數(shù)字有 9 種選法，不同的數(shù)字有 8 種選法，并有 3 個位置可放， 有9′8′?3 =?216 個數(shù)．
由加法原理，共有3′?9′8 +?9 ′8′?3 =?432 個數(shù)．
?
?
?
15、如果一個三位數(shù)?ABC?滿足?A?>?B?，?B?<?C?，那么把這個三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”的個數(shù)．
?
【解析】當 B 為0 時， A 、C 可以為 1～9 中的任何一個，此時有9 ′?9 種；當 B 為1 時， A 、C 可以為 2～9
中的任何一個，此時有8 ′?8 種；……；當 B 為8 時，有1′1種；所以共有
9?′?9?+?8?′?8?+ +1′1?=?1?′?9?′10?′19?=?285?(個)．
6
?
?
16、如圖，將?1，2，3，4，5?分別填入圖中1′?5?的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大．共有? 種不同的填法．
?
?
【解析】因為要求“填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大”，所以填入黑格中的數(shù)不能夠太小，否則就不滿足條件．通過枚舉法可知填入黑格里的數(shù)只有兩類：第一類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 4；第二類， 填在黑格里的數(shù)是 5 和 3．接下來就根據(jù)這兩類進行計數(shù)：
第一類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 4 時，分為以下幾步：第一步，第一個黑格可從 5 和 4 中任選一個，
有 2 種選法；第二步，第二個黑格可從 5 和 4 中剩下的一個數(shù)選擇，只有 1 種選法；第三步，第一個白格可從 1，2，3 中任意選一個，有 3 種選法．第四步，第二個白格從 1，2，3 剩下的兩個數(shù)中任選一個， 有 2 種選法； 第五步， 最后一個白格只有 1 種選法． 根據(jù)乘法原理， 一共有(2?′1) ′?(3′?2 ′1) =?12 種．
第二類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 3 時，黑格中有兩種填法，此時白格也有兩種填法，根據(jù)乘法原理，
不同的填法有2 ′?2 =?4 種．
所以，根據(jù)加法原理，不同的填法共有12 +?4 =16 種．
?
?
17、一個自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”．例如?1331，7，202?都是回文數(shù)，而 220 則不是回文數(shù)．問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個?其中的第 1996 個數(shù)是多少?
【解析】我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、…、六位來逐組計算． 所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有?9?個；
?
在二位數(shù)中，必須為aa 形式的，即有 9 個(因為首位不能為 0，下同)；
?
在三位數(shù)中，必須為 aba ( a 、b 可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同)形式的，即有
9×10 =90 個；
?
在四位數(shù)中，必須為abba 形式的，即有 9×10 個；
在五位數(shù)中，必須為abcba 形式的，即有 9×10×10=900 個； 在六位數(shù)中，必須為abccba 形式的，即有 9×10×10=900 個．
所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998 個，最大的為 999999，其次為 998899，再次為 997799．
而第 1996 個數(shù)為倒數(shù)第 3 個數(shù)，即為 997799．
所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有 1998 個，其中的第 1996 個數(shù)是 997799．
?
?
?
【回家作業(yè)】
1、在 200 至 1999 這些自然數(shù)中個位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個?
?
【解析】810
?
2、從 1 到 100 的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字 4 與 5 的自然數(shù)有多少個?
?
【解析】64
?
3、一個半圓周上共有 12 個點，直徑上 5 個，圓周上 7 個，以這些點為頂點，可以畫出多少個三角形？（6 級）
【解析】第一類：三角形三個頂點都在圓周上，這樣的三角形一共有7 ′?6 ′?5 ?（3′?2 ′1）=?35 種； 第二類：三角形兩個頂點在圓周上，這樣的三角形一共有7 ′?6 ?（2 ′1）′?5 =?105 種；
第三類：三角形一個頂點在圓周上，這樣的三角形一共有7 ′?5′?4 ?（2 ′1）=?70 種； 根據(jù)加法原理，一共可以畫出35 +105 +?70 =?210 種．
?
?
4、三條平行線上分別有 2，4，3 個點(下圖)，已知在不同直線上的任意三個點都不共線．問：以這些點為頂點可以畫出多少個不同的三角形？（6?級）
?
?
?
?
［分析］(方法一)本題分三角形的三個頂點在兩條直線上和三條直線上兩種情況
⑴三個頂點在兩條直線上，
一共有4′?3 ??2′?2 +?3′?2 ??2′?2 +?3′?2 ??2′?4 +?4′?3 ??2′?3 +?4 +?3 =?55 個
⑵三個頂點在三條直線上，由于不同直線上的任意三個點都不共線， 所以一共有： 2 ′?4 ′?3 =?24 個
根據(jù)加法原理，一共可以畫出55 +?24 =?79 個三角形．
(方法二) 9 個點任取三個點有9 ′8′?7 ??(3′?2 ′1) =?84 種取法，其中三個點都在第二條直線上有4 種， 都在第三條直線上有1 種，所以一共可以畫出84 -?4 -1 =?79 個三角形．
?
?
5、有一些四位數(shù)，它們由 4 個互不相同且不為零的數(shù)字組成，并且這 4 個數(shù)字和等于 12.將所有這樣的四位
數(shù)從小到大依次排列，第?15?個為? ，第?33?個為? ．
?
2154
4215
?
6、從 1 到 500 的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字 4 的自然數(shù)有多少個?
【解析】從 1 到 500 的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．
一位數(shù)中，不含 4 的有 8 個，它們是 1、2、3、5、6、7、8、9；
兩位數(shù)中，不含 4 的可以這樣考慮：十位上，不含 4 的有 l、2、3、5、6、7、8、9 這八種情況．個位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)， 再取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有 8×9=72 個數(shù)不含 4．
三位數(shù)中，小于 500 并且不含數(shù)字 4 的可以這樣考慮：百位上，不含 4 的有 1、2、3、這三種情況．十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 這九種情況，個位上，不含 4 的也有九種情況．要確定一個三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有3′?9 ′?9 =?24 個三位數(shù)．由于 500 也是一個不含 4 的三位數(shù)．所以，1～500 中，不含 4 的三位數(shù)共有3′?9′?9 +1?=?244 個．
所以一共有8 +?8′?9 +?3′?9′?9 +1 =?324 個不含 4 的自然數(shù)．
?
?
7、在 1000 到 1999 這 1000 個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)？
【解析】若相同的數(shù)是 1，則另一個 1 可以出現(xiàn)在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的兩個位置分別有 9
個和 8 個數(shù)可選，有3′?9 ′8 =?216 個；若相同的數(shù)是 2，有 3×8＝24 個；同理，相同的數(shù)是 0，3，
4，5，6，7，8，9 時，各有 24 個，所以，符合題意的數(shù)共有216 +?9′?24 =?432 個
?
8、在如圖所示?1×5?的格子中填入?1，2，3，4，5，6，7，8?中的五個數(shù)，要求填入的數(shù)各不相同，并且填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大．共有? 種不同的填法．
?
【解析】如果取出來的五個數(shù)是 1、2、3、4、5，則共有不同填法 16 種．從 8 個數(shù)中選出 5 個數(shù)，共有 8×7
×6÷(3×2×1)=56 中選法，所以共 16×56=896 種．
獲得更多試題及答案，歡迎聯(lián)系微信公眾號：ygjjcom
