專題六 ??立體圖形
類型一 ??正方體
【知識講解】
一、正方體的認(rèn)識：
1. 特征：
正方體有6個面，每個面都是正方形，所有的面都完全相同，有12條棱，所有的棱都相等，有8個頂點。
2. 正方體的棱長總和=棱長×12
???用字母表示：12a
二、正方體表面積的計算
1. 表面積：正方體6個面的總面積叫做它的表面積。
2. 正方體的表面積=棱長×棱長×6
???用字母表示：S=6a2
三、正方體體積的計算
1. 物體所占空間的大小叫做物體的體積。
2. 正方體的體積=棱長×棱長×棱長或底面積×高
???用字母表示： V= a3 ??或Sh?
【典例精講】
計算下面圖形的表面積和體積。
?
?
【答案】表面積是54平方分米，體積是27立方分米．
【解析】根據(jù)正方體的體積=棱長×棱長×棱長，表面積=棱長×棱長×6，列式計算即可。
解：3×3×6=54（平方分米）；
????3×3×3=27（立方分米）；
答：正方體的表面積是54平方分米，體積是27立方分米。
【點評】此題主要考查正方體的表面積和體積公式及其計算。
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題。
1．下列圖形中，（????）是正方體的展開圖。
?
2．正方體的棱長擴大3倍，則體積擴大（ ??????）倍。
??A.2 ?????B.4 ?????C.27 ?????D.8
3．一個正方體每個面的面積都是9cm2，它的棱長是（ ?）cm。
A．9 ???B．54 ???C．3
4．一個正方體的棱長總和是96dm，它的表面積是（ ?）dm2。
A．384 ???B．1536 ???C．9516 ???D．512
5．一個正方體的棱長是6dm，它的表面積和體積相比較，（ ??）
A．體積大 ???B．表面積大 ???C．同樣大 ???D．無法比較
6．用棱長2厘米的正方體木塊拼成一個較大的正方體，至少需要（ ??）塊。
A.4 ????B.8 ????C.9 ????D.64
7．把一個棱長為6分米的正方體切成棱長為2分米的小正方體，可以得到（ ?）小正方體。
A．27個 ???B．81個 ???C．9個
8．如圖是幾個相同小正方體拼成的大正方體，由AB向C點斜切，沒被切掉的小正方體有（????）個。
?
A. ?3 ????B. ?4 ?????C. ?5 ????D. ?6
9．一個立方體木塊，6個面都涂上紅色，然后把它切成大小相等的27個小立方體，其中有三個面是紅色的小立方體有（ ??）個。
A.4 ??????B.12???????C.6 ?????D.8
二、填空題。
1．一個正方體的表面積是54平方分米，它的一個面的面積是??????，棱長是??????。
2．?把一個棱長為1米的正方體切成棱長為1分米的小正方體，可以切成??????塊，若把這些小正方形排成一行，一共長??????米。
3．“仁義禮智信孝”是我們的傳統(tǒng)美德，小明將這六個字寫在一個正方體的六個面上，其平面展開如下圖所示，那么在該正方體中，和“仁”相對的字是（ ???）。
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4．要焊接一個體積為125立方厘米的正方體框架，需要鐵絲（????）厘米。
5．3個棱長為20cm的正方體木塊放在墻角處（如圖），有??????????個面露在外面，露在外面的面積是??????cm2．
?
6．如圖所示是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個面上的數(shù)字之和的最小值的是（ ???）。
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7．有一個立方體，每個面上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5、6，有三個人從不同角度觀察的結(jié)果如圖所示，那么這個立方體1的對面是??????，3的對面是??????，4的對面是??????．
?
8． 把棱長為1厘米的小正方體按照下圖的方式擺放，隨著小正方體個數(shù)的增加，露在外面的面數(shù)變化有什么規(guī)律？找規(guī)律，填表。
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三、解答題。
1．一個正方體的棱長和是48厘米，這個正方體的棱長是多少厘米？
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2．一個無蓋的立方體盒子，棱長4分米，它的表面積是多少平方分米？
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3．計算下面正方體的表面積和體積。
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4．有5個棱長為40厘米的正方體紙箱放在墻角處(如圖)，露在外面的面積一共有多少平方厘米？
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【參考答案】
一、1. 【答案】B
【解析】本題考查正方體展開圖的特征。根據(jù)正方體展開圖的特征，圖B符合正方體展開圖的結(jié)構(gòu)，能組成正方體。
2. 【答案】C
【解析】棱長擴大3倍，體積擴大3×3×3=27倍。
3.?【答案】C
【解析】因為正方體的每個面都是正方形，根據(jù)正方形的面積公式：s=a2可知一個正方體每個面的面積都是9cm2，它的棱長是3厘米，據(jù)此解答。
解：因為3×3=9（平方厘米）
所以正方體的棱長是3厘米。
故選：C．
【點評】此題主要考查正方形的面積公式的靈活運用。
4.?【答案】A
【解析】首先用正方體的棱長總和除以12求出正方體的棱長，再根據(jù)正方體的表面積公式：s=6a2，把數(shù)據(jù)分別代入公式解答。
解：96÷12=8（分米），
8×8×6
=64×6
=384（平方分米）
答：正方體的表面積是384平方分米。
故選：A．
【點評】此題主要考查正方體的棱長總和公式、表面積公式的靈活運用。
5.?【答案】D
【解析】正方體的表面積是6×6×6=216（平方分米），正方體的體積是6×6×6=216（立方分米），這里雖然數(shù)字相同，但是它們表示的意義不同，使用的單位不同，無法比較它們的大小。
解：根據(jù)題干分析可得，表面積和體積的意義不同，單位沒法統(tǒng)一，所以無法比較大小。
故選：D．
【點評】比較大小只能是在同一單位的情況下進行比較，單位無法統(tǒng)一的情況下，無法比較它們的大小。
6.?【答案】B
【解析】本題考查正方體的棱長特點。分析用小正方體組成較大正方體時棱長及所用數(shù)量的變化情況。
【答案】B
【解析】棱長之和÷12=棱長
7.?【答案】A
【解析】先求出大正方體的體積，再求出小正方體的體積，然后用大正方體的體積除以小正方體的體積，就可以求出分了多少塊了。
解：6×6×6=216（立方厘米）；
????2×2×2=8（立方厘米）；
由題意知個數(shù)為：216÷8=27（個）；
答：可以得到27個。
故選：A．
【點評】此題考查了正方體的體積的靈活應(yīng)用。
8. 【答案】B
【解析】本題考查的是簡單的立方體切拼問題。
如圖是由幾個相同的小正方體拼成的大正方體，由AB向C點斜切，可以看到切掉的小正方體有4個，因為該正方體是由8個小正方體拼成，所以沒切掉的有8-4=4（個），故此題選B。
9.?【答案】D
【解析】本題考查正方體的圖形特點及空間想象能力。明確只有位于頂點上的小正方體的三個面是紅色的，根據(jù)正方體的頂點數(shù)量，正確解決問題。
分析可知，只有位于頂點的小正方體，它的三個面是紅色的，正方體有8個頂點，所以有三個面是紅色的小正方體數(shù)量是8個。
二、1.?【答案】9平方分米，3分米．
【解析】先根據(jù)正方體的表面積公式求出正方體一個面的面積是：54÷6=9平方分米，由此根據(jù)完全平方數(shù)的性質(zhì)即可得出正方體的棱長是3分米，據(jù)此即可解答。
解：正方體的一個面的面積是：54÷6=9（平方分米），
因為3×3=9，所以正方體的棱長是3分米，
故答案為：9平方分米，3分米．
【點評】此題考查正方體的表面積和體積公式的靈活應(yīng)用，根據(jù)正方體一個面的面積求出正方體的棱長是解決此類問題的關(guān)鍵。
2.?【答案】1000，100．
【解析】棱長1分米的小正方體體積是1立方分米，與1立方米的小正方體的體積之間的進率是1000，所以就是1000個小正方體，排成一排一共長1000×1=1000分米；進而得出結(jié)論。
解：棱長1分米的小正方體體積是1立方分米，1立方米和1立方分米之間的進率是1000，所以1立方米的小正方體可以截成1000個棱長是1分米的小正方體；
1000×1=1000（分米）=100（米）；
故答案為：1000，100．
【點評】解答此題應(yīng)根據(jù)體積單位間的進率進行分析，或先把棱長為1米的正方體化為棱長為10分米的正方體，進而根據(jù)正方體的體積計算公式進行解答。
3. 【答案】智
【解析】本題考查的是正方體的展開圖的知識，首先要明白把正方體展開以后，共六個面，每個面都有它相對應(yīng)的面，只要找對相對應(yīng)的面即可。
圖中共有六個字，每一個字都在小正方形中，即正方體的六個面，“仁”相對的字是“智”， “義”相對的字是“孝”，“禮”相對的字是“信”。
4. 【答案】60
【解析】本題主要考查了正方體體積公式的應(yīng)用和棱長和的應(yīng)用。先根據(jù)正方體的體積公式求出正方體的棱長，再進一步求出正方體框架需要的鐵絲。
根據(jù)題意，正方體的體積是125立方厘米，因此立方體的棱長為5cm，因為正方
體有12條棱，所以需要鐵絲為5×12=60（厘米）。
5.?【答案】7，2800．
【解析】根據(jù)題意可知：3個棱長為20厘米的正方體木塊放在墻角處，正面有3個面外露，右面有2個面外露，上面有2個面外露，由此得共有7個面外露．根據(jù)正方形的面積公式：s=a2，把數(shù)據(jù)代入公式求出正方體的一個面的面積，然后乘7即可．據(jù)此解答．
解：正面有3個面外露，右面有2個面外露，上面有2個面外露，
3+2+2=7（個），
20×20×7
=400×7
=2800（平方厘米），
答：有7個面露在外面，露在外面的面積是2800平方厘米。
故答案為：7，2800．
【點評】此題考查的目的是理解掌握正方體的特征，用正方形面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。
6.?【答案】6。
7.?【答案】5，6，2．
【解析】
圖1：正面為1，上面為6，右面為4；
圖2：正面為3，上面為2，右面為1；
圖3：正面為4，上面為5，右面為3；
由圖1和圖2可以確定1的對面是5，由圖1和圖3可以確定4的對面是2，由此解答。
解：根據(jù)題意可知：1的對面不能是6、4和2、3，所以1對5；
4的對面不能是1、6和3、5，所以4對2；
剩下的是3對6；
故答案為：5，6，2．
【點評】注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．
8.?【解析】1個正方體有6個面，兩個正方體有6×2=12個面，疊在一起減去2個面，得到露在外面的面數(shù)是10；
1個正方體有6個面，4個正方體有6×4=24個面，疊在一起減去4×2=8個面，得到露在外面的面數(shù)是16；
1個正方體有6個面，6個正方體有36個面，疊在一起減去14個面，得到露在外面的面數(shù)是22；
1個正方體有6個面，8個正方體有48個面，疊在一起減去20個面，得到露在外面的面數(shù)是28；
1個正方體有6個面，10個正方體有60個面，疊在一起減去26個面，得到露在外面的面數(shù)是34。
【答案】
擺放的行數(shù) ???小正方體的個數(shù) ?露在外面的面數(shù) 露在外面的面積
1 ??????????????????2 ?????????????????10 ?????10
2 ??????????????????4 ?????????????????16 ?????16
3 ??????????????????6 ?????????????????22 ?????22
4 ??????????????????8 ?????????????????28 ?????28
5 ?????????????????10 ?????????????????34 ?????34
… ????????????????… ?????????????????… ?????…
三、1.?【答案】48÷12=4（厘米） ????答：這個正方體棱長是4厘米。
【解析】正方體的棱長之和=棱長×12
2.?【答案】80平方分米．
【解析】首先搞清這道題是求正方體的表面積，其次這個正方體缺少上面，由5個正方形組成，所以先算出一個正方形的面積，進而乘上5即可解決問題。
解：4×4×5
=16×5
=80（平方分米）
答：它的表面積是80平方分米。
【點評】此題考查正方體表面積的實際應(yīng)用，在計算時要分清需要計算幾個正方形面的面積，從而列式解答即可．
3. 【答案】表面積是216平方分米，體積是216立方分米
【解析】
根據(jù)正方體的表面積公式：s=6a2，體積公式：v=a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。
解答：6×6×6=216（平方分米），6×6×6=216（立方分米）。這個正方體的表面積是216平方分米，體積是216立方分米。
4.?【答案】16000平方厘米
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