專題六 ??立體圖形
類型二 ??長方體
【知識講解】
1. 長方體的特征：
???長方體有6個面，每個面都是長方形（特殊的有一組對面是正方形），相對的面完全相同，有12條棱，相對的棱平行且相等，有8個頂點。
2. 長，寬，高：
????相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。
3. 長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4
???用字母表示:(a+b+h) ×4
4. 長方體的表面積：
???長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2
???用字母表示：S=（ab+ac+bc）×2
5.長方體的體積：
???長方體的體積=長×寬×高或底面積×高
???用字母表示：V=abc或Sh
【典例精講】
用27米長的鋼材焊成一個長方體框架，它的長、寬、高的比是4：3：2，在這個框架外覆蓋一層塑料膜，至少要多少平方米的塑料膜？
【答案】29.25平方米
【解析】本題考查的是有關(guān)比例和長方體表面積的問題。要求長方體的表面積就得根據(jù)題中的比例關(guān)系先求出它的長、寬、高，然后再根據(jù)長方體表面積的計算方法求出最后結(jié)果。
長方體的棱長和=4×長+4×寬+4×高，長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2。
解：設(shè)每份為x，那么長、寬、高分別為4x、3x、2x，則
16x+12x+8x=27
36x=27
x=27÷36
x=0.75
則長=3米，寬=2.25米，高=1.5米
需要的塑料膜為：(3×2.25+3×1.5+2.25×1.5)×2=29.25(平方米）
答：至少需要29.25平方米的塑料膜。
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題。
1．一個長方體長是8厘米，寬和高都是5厘米，這個長方體有（ ?）個面是長方形。
A．2 ???B．4 ???C．6
2．下列圖形中，不能表示長方體平面展開圖的是（ ?????）。
?
3．一個長方體的長、寬、高都擴(kuò)大2倍，它的體積擴(kuò)大（ ???????）倍。
?A.2 ???B.4 ???C.6 ???D.8
4．一個長方體，它的長、寬、高分別是9厘米、3厘米、2.5厘米，它上面的長是（ ?）厘米．
A．9 ???B．3 ???C．4
5．?用一根長48厘米的鐵絲做一個長方體的教具，已知長是6厘米，高是4厘米，寬是（ ?）厘米。
A．2 ???B．3 ???C．4 ???D．5
6．加工一個長方體油箱要用多少鐵皮，是求這個油箱的（ ?）
A．表面積 ???B．體積 ???C．容積
7．用一根長（ ?）厘米的鐵絲正好圍成長6厘米、寬5厘米、高2厘米的長方體框架．
A．26 ???B．117 ???C．52 ???D．60
8．兩個完全一樣的正方體拼成一個長方體后，表面積的總和（????）。
A.?增加了 ???????B.?減少了 ???????C. 不變
9．用棱長1厘米的正方體木塊，擺成底面積是12平方厘米，高是2厘米的長方體，可擺成（????）種不同的形狀。
A. 1 ???????????B. 2 ?????????????C. 3 ??????????D. 4
10．3個棱長是1厘米的正方體小方塊粘合成一個長方體，它的表面積是（ ?）平方厘米．
A．18 ???B．14 ???C．12 ???D．16
11．一個長方體魚缸，長30厘米，寬20厘米，水深8厘米，將一塊石頭放入水中后水面上升4厘米，這塊石頭的體積是（ ?）厘米3。
A．4800 ???B．2400 ???C．6000
二、填空題。
1．長方體的6個面是??????，特殊情況有兩個相對的面是??????；長方體最多有??????條棱相等．
2．如果長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是4厘米，那么，這個長方體有
??????個面是長方形，有??????個面是正方形．
3．一個長方體盒子，長是8厘米，寬和高都是5厘米，它的表面積是??????平方厘米．
4．一個長方體游泳池，長50米，寬40米，放滿之后可以盛水6000立方米，這個游泳池的深是??????，它的占地面積是??????，要在離游泳池口的1.2米處畫一條安全線，這條安全線長??????．
5．把4個棱長是6分米的正方體木塊拼成一個表面積最小的長方體，這個長方體的表面積是（????）平方分米。
6．把兩個棱長都是3厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是（ ???）平方厘米，體積是（????）立方厘米。
7．—個長方體，如果高增加2厘米變成了正方體，而且表面積要增加56平方厘米，原來這個長方體的體積是（????）立方厘米。
三、解答題。
1．王阿姨要做一個長4.5m，寬0.6m，高75cm的玻璃柜臺，現(xiàn)在要在柜臺的各邊都安裝上角鐵，至少需要角鐵多少米？
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2．學(xué)校把21立方米黃沙鋪在一個長6米，寬3.5米的長方體沙坑里，可以鋪多厚？
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3．一個長方體玻璃魚缸（魚缸的上面沒有玻璃），長5分米，寬3分米，高3.5分米．制作這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃？
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4．一個長方體容器，長30厘米，寬20厘米，高10厘米，里面水深6厘米，如果把這個容器里的水倒入另一個長40厘米、寬30厘米的長方體容器中，水深應(yīng)為多少？
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5．一根長方體木料，長3米，截面是一個邊長0.4米的正方形，從這根木料上截下2.5米長的一段，剩下的體積是多少立方米？
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6．教室的長是8米，寬是6米，高是3.5米，現(xiàn)在要粉刷教室四周的墻壁，扣除門窗的面積16平方米，要粉刷的面積是多少平方米？如果每2平方米用涂料1千克，粉刷這個教室共需涂料多少千克？
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7．用72厘米的鐵絲焊接成一個長方體框架，長方體長、寬、高的長度比是3：2：1，這個長方體的長是多少厘米？
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【參考答案】
一、1.?【答案】B
【解析】根據(jù)長方體的特征，12條棱分為互相平行的（相對的）3組，每組4條棱的長度相等，6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等．由此解答．
解：一個長方體的長是8厘米，寬和高都是5厘米，也就是這個長方體有兩個相對的面是正方形，其它4個面是完全相同的長方形．
故選：B．
【點評】此題考查的目的是使學(xué)生理解掌握長方體的特征.
2.?【答案】D。
【解析】選項A，B，C經(jīng)過折疊均能圍成長方體，D兩個底面在側(cè)面的同一側(cè)，缺少一個底面，所以不能表示長方體平面展開圖。
3. 【答案】D
【解析】一個長方體的長、寬、高都擴(kuò)大2倍，它的體積擴(kuò)大2×2×2=8倍。
4.?【答案】A
【解析】根據(jù)長方體的長、寬、高與各面的長和寬的關(guān)系，長方體的長就是它的上面的長，據(jù)此解答即可。
解：一個長方體，它的長、寬、高分別是9厘米、3厘米2.5厘米，它上面的長是9厘米。
故選：A．
【點評】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及長方體的長、寬、高與各面的長和寬的關(guān)系。
5.?【答案】A
【解析】用一根長48厘米的鐵絲做一個長方體的教具，也就是這個長方體的棱長總和是48厘米，因為長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4，所以用棱長總和除以4減去長和高即可求出寬．據(jù)此解答．
解：48÷4﹣（6+4）
=12﹣10
=2（厘米），
答：寬是2厘米。
故選：A．
【點評】此題主要考查長方體的棱長總和公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。
6.?【答案】A
【解析】根據(jù)油箱的特點，加工一個長方體油箱要用多少鐵皮，是求這個長方體的表面積。
解：根據(jù)題干可得，要求油箱要用多少鐵皮，是求這個長方體的表面積．
故選：A．
【點評】此題考查了長方體表面積的實際應(yīng)用。
7.?【答案】C
【解析】根據(jù)題意可知，需要多長的鐵絲圍成一個長方體框架，也就是求長方體的棱長總和．長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。
解：（6+5+2）×4，
=13×4，
=52（厘米），
答：需要一根長52厘米的鐵絲。
故選：C．
【點評】此題主要考查長方體棱長總和的計算，直接把數(shù)據(jù)代入棱長總和公式進(jìn)行解答．
8. 【答案】B
【解析】本題主要考查了長方體和正方體表面積的求法。把兩個完全一樣的正方體拼成一個長方體后少了2個面。
一個正方體有6個面，兩個正方體有12個面，把兩個完全一樣的正方體拼成一個長方體后少了2個面，還剩下10個面，所以表面積總和減少了2個面的面積。
9. 【答案】C
【解析】本題考查的是學(xué)生對長方體、正方體的認(rèn)識。可以這樣考慮，底面積是12平方厘米，也就是12個小正方體，它們有幾種擺法，就決定了大長方體有幾種擺法。高是2厘米，說明這個長方體肯定有兩層構(gòu)成，底面積是12平方厘米，那么底面有三種可能的擺法1×12、2×6、3×4。也就是說長方體可擺成三種不同的形狀：長12厘米、寬1厘米、高2厘米；長6厘米、寬2厘米、高2厘米；長3厘米、寬4厘米、高2厘米。
10.?【答案】B
【解析】3個棱長是1厘米的正方體小方塊粘合成一個長方體，只有一種粘合方法：一字排列；所以粘合后的表面積比原來三個小正方體的表面積減少了4個小正方體的面的面積，由此即可解決問題．
解：（6×3﹣4）×1×1，
=14×1，
=14（平方厘米），
答：它的表面積是14平方厘米．
故選：B．
【點評】抓住3個小正方體拼組長方體的方法，得出表面積減少了4個小正方體的面是解決此類問題的關(guān)鍵。
11.?【答案】B
【解析】往魚缸里放入一個石頭后，水面升高了，升高了的水的體積就是這石頭的體積，升高的部分是一個底面積是30×20平方厘米，高4厘米的長方體，根據(jù)長方體的體積計算公式列式解答即可．
解：30×20×4=2400（立方厘米）
答：這塊石頭的體積是2400立方厘米．
故選：B．
【點評】此題主要考查特殊物體體積的計算方法，將物體放入或取出水中，水面上升或下降的體積就是物體的體積；也考查了長方體的體積=底面積×高．
二、1.?【答案】長方形，正方形，8．
【解析】根據(jù)長方體的特征可知：長方體有6個面，有三組相對的面完全相同．一般情況下六個面都是長方形，特殊情況時有兩個面是正方形，其它四個面都是長方形，并且這四個面完全相同．解答即可．
解：長方體的6個面是長方形，特殊情況有兩個相對的面是正方形；長方體最多有8條棱相等．
故答案為：長方形，正方形，8．
【點評】此題主要考查長方體的特征，掌握長方體的特征是解題的關(guān)鍵．
2.?【答案】4，2．
【解析】根據(jù)長方體的特征，12條棱分為互相平行的（相對的）3組，每組4條棱的長度相等，6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等．由此解答．
解：一個長方體的長是6厘米，寬和高都是4厘米，也就是這個長方體有兩個相對的面是正方形，其它4個面是完全相同的長方形．
故答案為：4，2．
【點評】此題考查的目的是使學(xué)生理解掌握長方體的特征．
3.?【答案】210
【解析】根據(jù)長方體的表面積公式：s=（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．
解：（8×5×2+5×5）×2，
=（40×2+25）×2，
=105×2，
=210（平方厘米），
答：這個長方體的表面積是210平方厘米．
故答案為：210．
【點評】此題主要考查長方體的表面積公式的靈活運用．
4.?【答案】3米，2000平方米，180米．
【解析】根據(jù)長方體的體積（容積）公式：v=sh，那么h=v÷s，據(jù)此可以求出游泳池的深，根據(jù)長方形的面積公式：s=ab，把數(shù)據(jù)代入公式即可求出游泳池的占地面積，這條安全線的長度等于游泳池底面的周長，根據(jù)長方形的周長公式：c=（a+b）×2，把數(shù)據(jù)代入公式單價即可．
解：6000÷（50×40）
=6000÷2000
=3（米），
50×40=2000（平方米），
（50+40）×2
=90×2
=180（米），
答：這個游泳池的深是3米，占地面積是2000平方米，這條安全線長180米．
故答案為：3米，2000平方米，180米．
【點評】此題主要考查長方體的體積公式、長方形的面積公式、長方形周長公式在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式．
5. 【答案】576
【解析】把4個正方體木塊拼成一個長方體，實際上只能拼成兩種形狀的長方體，一種是擺一排，一排4個正方體；一種是擺兩排，每排2個正方體。分別計算它們的表面積，再作比較，選出表面積較小的那個即可。
第一種長方體的長、寬、高分別是24分米、6分米、6分米，所以它的表面積是：2×（24×6＋24×6＋6×6）＝648（平方分米）；第二種長方體的長、寬、高分別是12分米、12分米、6分米，所以它的表面積是：2×（12×12＋12×6＋12×6）＝576（平方分米）。576﹤648，所以表面積最小的長方體的表面積是576平方分米。
6. 【答案】90 ???54
【解析】本題考查長方體表面積和體積計算方面的知識。解題關(guān)鍵是先找出正方體拼成的長方體的長、寬、高各是多少，再根據(jù)公式計算長方體的表面積和體積。
把兩個棱長都是3厘米的正方體拼成一個長方體，則這個長方體的長是3×2=6厘米，寬是3厘米，高是3厘米。長方體的表面積=6×3×4+3×3×2=90（平方厘米）（這個長方體有4個6×3的面和2個3×3的面）；長方體的體積=長×寬×高=6×3×3=54（立方厘米）。
7. 【答案】245
【解析】本題考查的是有關(guān)長方體的側(cè)面積、表面積和體積的有關(guān)知識。由于底面是正方形，因此長方體的長和寬相等，原長方體的長（寬）=56÷4÷2=7厘米，原長方體的高=7-2=5厘米，所以長方體的體積=7×7×5=245平方厘米。
三、1.?【答案】11.7米
【解析】根據(jù)長方體的特征：12條棱分為互相平行的（相對的）3組，每組4條棱的長度相等．長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4，長4.5m，寬0.6m，高75cm．由此列式解答。
解：75厘米=0.75米
（4.5+0.6+0.75）×4
=5.85×4
=23.4（米）
答：至少需要角鐵23.4米．
【點評】此題主要考查長方體的特征，以及長方體的棱長總和與長、寬、高的關(guān)系。
2.?【答案】1米厚
【解析】
根據(jù)長方體的體積公式：v=sh，那么h=v÷s，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。
解：21÷（6×3.5）
=21÷21
=1（米），
答：可以鋪1米厚。
【點評】此題主要考查長方體的體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式．
3.?【答案】71平方分米
【解析】要求制作這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃，也就是求長方體五個面的面積（缺少上面），由此即可列式解答。
解：5×3+（5×3.5+3×3.5）×2；
=15+（17.5+10.5）×2；
=15+56；
=71（平方分米）；
答：制作這個魚缸至少需要71平方分米的玻璃。
【點評】此題是長方體表面積的實際應(yīng)用，關(guān)鍵要弄清是求哪幾個面的面積，缺少哪個面，然后列式解答即可。
4.?【答案】3厘米
【解析】先利用長方體的體積公式：V=abh，求出水的體積，又因這些水的體積是不變，用這些水的體積除以另一個容器的底面積，就是水的深度，列式解答即可。
解：30×20×6÷（40×30）
=3600÷1200
=3（厘米）
答：水深應(yīng)為3厘米。
【點評】此題主要考查長方體的體積的靈活運用。
5.?【答案】0.08立方米
【解析】先求出剩下部分的長，根據(jù)長方體的體積公式：v=sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．
解：0.4×0.4×（3﹣2.5）
=0.16×0.5
=0.08（立方米），
答：剩下的體積是0.08立方米．
【點評】此題主要考查長方體的體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式．
6. 【答案】要粉刷的面積是82平方米，粉刷這個教室共需涂料41千克。
【解析】本題考查長方體表面積相關(guān)知識點。教室是長方體，但是要粉刷的教室四周的墻壁，所以只有2個長×高和2個寬×高的面需要計算，再減去門窗的面積就得到了粉刷面積。每2平方米用涂料1千克，用粉刷面積除以2看有幾個2就需要涂料多少千克。
需要粉刷的面積是：(8×3.5+6×3.5)×2-16
=（28+21）×2-16
=49×2-16
=98-16
=82(平方米)
需要涂料：82÷2×1=41(千克）
答：要粉刷的面積是82平方米，粉刷這個教室共需涂料41千克。
7. 【答案】9厘米
【解析】本題考查是有關(guān)長方體的棱長和的問題。長方體有12條棱，其中包括4條相等的長、4條相等的寬和4條相等的高，則長方體的棱長和=（長+寬+高）×4，用72厘米的鐵絲焊接成一個長方體框架，即長方體的棱長和是72厘米。根據(jù)長方體的棱長和公式列出出方程，然后求解即可。
解:設(shè)每份為x厘米，則長為3x厘米，寬為2x厘米，高x厘米。由題意可知：
（3x+2x+x）×4=72
6x×4=72
24x=72
x=3
長：3×3=9(厘米）
答:這個長方體的長為9厘米。
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