小學(xué)奧數(shù) 30 個(gè)?？贾R(shí)點(diǎn)大匯總

1.?和差倍問(wèn)題

和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題

已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式：

①(和－差)÷2=較小數(shù)

較小數(shù)＋差=較大數(shù)小學(xué)奧數(shù)很簡(jiǎn)單，就這 30 個(gè)知識(shí)點(diǎn)和－較小數(shù)=較大數(shù)

②(和＋差)÷2=較大數(shù)較大數(shù)－差=較小數(shù) 和－較大數(shù)=較小數(shù) 和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

和－小數(shù)=大數(shù)

差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)＋差=大數(shù)

關(guān)鍵問(wèn)題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2.?年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征：

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3.?歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：

問(wèn)題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”…… 等詞語(yǔ)來(lái)表示。

關(guān)鍵問(wèn)題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4.?植樹問(wèn)題

基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹

基本公式棵數(shù)=段數(shù)＋1

棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)－1 棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)

棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)

關(guān)鍵問(wèn)題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5.?雞兔同籠問(wèn)題

基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；

③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑?/span>

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－ 雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。

6.?盈虧問(wèn)題

基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚?/span>

基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量．

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

7.?牛吃草問(wèn)題

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。

基本特點(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的； 關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長(zhǎng)時(shí)間- 短時(shí)間）；

總草量=較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間×生長(zhǎng)量；

8.?周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有 366 天；

①年份能被 4 整除；②如果年份能被 100 整除，則年份必須能被 400 整除；

平年：一年有 365 天。

①年份不能被 4 整除；②如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；

9.?平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式②。

10.?抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在 n?個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有 2?個(gè)物體。

例：把 4?個(gè)物體放在 3?個(gè)抽屜里，也就是把 4?分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

①4=4+0+0

②4=3+1+0

③4=2+2+0

④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2?個(gè)或多于 2?個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有 2?個(gè)物體。

抽屜原則二：如果把 n?個(gè)物體放在 m?個(gè)抽屜里，其中 n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有：

①k=[n/m]+1 個(gè)物體：當(dāng) n 不能被 m 整除時(shí)。

②k=n/m 個(gè)物體：當(dāng) n 能被 m 整除時(shí)。

理解知識(shí)點(diǎn)：[X]表示不超過(guò) X 的最大整數(shù)。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關(guān)鍵問(wèn)題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。

11.?定義新運(yùn)算

基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。

基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

12.?數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用 a1 表示； 項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用 n 表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用 d 表示；

通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用 an?表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用 Sn?表示．

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1，an，d，n，sn，，通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式：an=a1+（n－1）d； 通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一 1)公差；

數(shù)列和公式：sn，=(a1+an)n2； 數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù) 2； 項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+a1)d＋1；

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差＋1；

公差公式：d=（an－a1））（n－1）； 公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù)－1）；

關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13.?二進(jìn)制及其應(yīng)用

十進(jìn)制：用?0～9?十個(gè)數(shù)字表示，逢?10?進(jìn)?1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的?含?義?，?十?位?上?的?2?表?示?20?，?百?位?上?的?2?表?示?200?。?所?以234=200+30+4=2102+310+4 。

=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7

+……+A3102+A2101+A1100

注意：N0=１；N１=N（其中 N 是任意自然數(shù)）

二進(jìn)制：用 0～1 兩個(gè)數(shù)字表示，逢 2 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的

含義。

（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7

+……+A322+A221+A120

注意：An 不是 0 就是 1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿 2?進(jìn) 1?的特點(diǎn)，用 2?連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的 2?的 n?次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的 2 的 n?次方，依此方法一直找到差為 0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。

14.?加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

加法原理：如果完成一件任務(wù)有 n 類方法，在第一類方法中有 m1 種不同方法，在第二類方法中有 m2?種不同方法……，在第 n?類方法中有 mn?種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+m2?+mn?種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成 n?個(gè)步驟進(jìn)行，做第 1?步有 m1?種方法，不管第 1?步用哪一種方法，第 2?步總有 m2?種方法……不管前面 n-1?步用哪種方法，第 n?步總有 mn?種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2?×mn

種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。

線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。

射線：把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。

射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一 1）；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一 1）；

③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：

④數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)

15.?質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1?和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。

合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常

用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，其中 a1、a2、a3……an 都是合數(shù) N 的質(zhì)因數(shù)，且 a1

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16.?約數(shù)與倍數(shù)

?

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù) a?能夠被 b?整除，a?叫做 b?的倍數(shù)，b?就叫做 a?的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫

做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以 m。

例如：12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12； 18 的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

那么 12 和 18 的公約數(shù)有：1、2、3、6；

那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6； 求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

12?的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

18?的倍數(shù)有：18、36、54、72……；

那么 12 和 18 的公倍數(shù)有：36、72、108……；

那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36，記作[12，18]=36； 最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：

1、短除法求最小公倍數(shù)；

2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17.?數(shù)的整除

一、基本概念和符號(hào)：

1、整除：如果一個(gè)整數(shù) a，除以一個(gè)自然數(shù) b，得到一個(gè)整數(shù)商 c，而且沒(méi)有余數(shù)，那么叫做 a?能被 b?整除或 b?能整除 a，記作 b|a。

2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“”；因?yàn)榉?hào)“∵”，所以的符號(hào)“∴”；

二、整除判斷方法：

1.?能被 2、5?整除：末位上的數(shù)字能被 2、5?整除。

2.?能被 4、25?整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、25?整除。

3.?能被 8、125?整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 8、125?整除。

4.?能被 3、9?整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被 3、9?整除。

5.?能被 7?整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被 7 整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 2 倍后能被 7 整除。

6.?能被 11?整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 11 整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被 11 整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被 11 整除。

7.?能被 13?整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 13 整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：

1.?如果 a、b?能被 c?整除，那么（a+b）與（a-b）也能被 c?整除。

2.?如果 a?能被 b?整除，c?是整數(shù)，那么 a?乘以 c?也能被 b?整除。

3.?如果 a?能被 b?整除，b?又能被 c?整除，那么 a?也能被 c?整除。

4.?如果 a?能被 b、c?整除，那么 a?也能被 b?和 c?的最小公倍數(shù)整除

?

18.?余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對(duì)任意自然數(shù) a、b、q、r，如果使得 a÷b=q……r，且 0那么 r?叫做 a?除以 b?的余數(shù)，q?叫做 a?除以 b?的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若 a、b 除以 c 的余數(shù)相同，則 c|a-b 或 c|b-a。

③a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)加上 b 除以 c 的余數(shù)的和除以 c 的余數(shù)。

④a 與 b 的積除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)與 b 除以 c 的余數(shù)的積除以 c 的余數(shù)。

19.?余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù) a、b 除以 m 的余數(shù)相同，則稱 a、b 對(duì)于模 m 同余。

②已知三個(gè)整數(shù) a、b、m，如果 m|a-b，就稱 a、b 對(duì)于模 m 同余，記作a≡b(modm)，讀作 a 同余于 b 模 m。

二、同余的性質(zhì)：

①自身性：a≡a(modm)；

②對(duì)稱性：若 a≡b(modm)，則 b≡a(modm)；

③傳遞性：若 a≡b(modm)，b≡c(modm)，則 a≡c(modm)；

④和差性：若 a≡b(modm)，c≡d(modm)，則 a+c≡b+d(modm)，a-c≡ b-d(modm)；

⑤相乘性：若 a≡b(modm)，c≡d(modm)，則 a×c≡b×d(modm)；

⑥乘方性：若 a≡b(modm)，則 an≡bn(modm)；

⑦同倍性：若 a≡b(modm)，整數(shù) c，則 a×c≡b×c(modm×c)； 三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：

①若 A=a×b，則 MA=Ma×b=（Ma）b

②若 B=c+d 則 MB=Mc+d=Mc×Md

四、被 3、9、11 除后的余數(shù)特征：

①一個(gè)自然數(shù) M，n 表示 M 的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則 M≡n(mod9)或

（mod3）；

②一個(gè)自然數(shù) M，X?表示 M?的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y?表示 M?的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 M≡Y-X?或 M≡11-（X-Y）(mod11)；

五、費(fèi)爾馬小定理：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1≡1(modp)。

?

20.?分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或

者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化， 總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21.?分?jǐn)?shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和 1?進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和 0?比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.?分?jǐn)?shù)拆分

一、將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：

①=+；

②=+（d 為自然數(shù)）；

23.?完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.?末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.?除以 3?余 0?或余 1；反之不成立。

3.?除以 4?余 0?或余 1；反之不成立。

4.?約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.?奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.?奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.?兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24.?比和比例

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)

叫比的后項(xiàng)。

比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a：b=c：d?或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若 A?擴(kuò)大或縮小幾倍，B?也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB?的商不變時(shí)）， 則 A?與 B?成正比。

反比例：若 A?擴(kuò)大或縮小幾倍，B?也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB?的積不變時(shí)）， 則 A?與 B?成反比。

比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25.?綜合行程

基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。

相遇問(wèn)題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式） 追及問(wèn)題：追及時(shí)間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）

流水問(wèn)題：順?biāo)谐?/span>=（船速+水速）×順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間

順?biāo)俣?/span>=船速+水速逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

26.?工程問(wèn)題

基本公式：

①工作總量=工作效率×工作時(shí)間

②工作效率=工作總量÷工作時(shí)間

③工作時(shí)間=工作總量÷工作效率基本思路：

①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無(wú)關(guān)）；

②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。

27.?邏輯推理

基本方法簡(jiǎn)介：

①條件分析—假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相

反情況是成立的。例如，假設(shè) a?是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么 a 一定是奇數(shù)。

②條件分析—列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需 要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中， 表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī) 律進(jìn)行判斷。

③條件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。例如 A?和 B 兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。

④邏輯計(jì)算：在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。

⑤簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。

28.?幾何面積

基本思路：

在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1.?連輔助線方法

2.?利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

3.?大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。

4.?利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面積）

②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的 78.5%。

29.?立體圖形

長(zhǎng)方體

8 個(gè)頂點(diǎn)； 6 個(gè)面； 相對(duì)的面相等； 12 條棱； 相對(duì)的棱相等； S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh

正方體

8?個(gè)頂點(diǎn)；6?個(gè)面；所有面相等；12?條棱；所有棱相等；S=6a2V=a3 圓柱體

上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開后是長(zhǎng)方形；S=S 側(cè)+2S 底 S 側(cè)

=ChV=Sh

圓錐體

下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；l：母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離；S=S 側(cè)+S?底

S 側(cè)=rlV=Sh

球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。S=4r2V=r3