理科數(shù)學

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一、集合與常用邏輯用語

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1.集合的概念與運算

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（1）解題時要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素（集合是點集、數(shù)集還是圖形集）.

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（2）集合中的元素具有確定性、無序性和互異性，在求解有關(guān)集合的問題時，尤其要注意元素的互異性.

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（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要時刻注意對空集的討論，防止漏解.

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（4）解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系，二是集合與集合的包含關(guān)系.（5）Venn 圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心.

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（6）處理集合問題時，一定要注意檢驗結(jié)果是否與題設相矛盾.

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2.命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

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（1）當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保留大前提.

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（2）判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若

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p?則?q”的形式.

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（3）判斷條件之間的關(guān)系時要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p 的一個充分而不必要條件是?q”等語言.

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3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、命題的否定與否命題

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（1）p∨q 為真命題，只需?p、q 有一個為真即可;p∧q 為真命題，必須?p、q 同時為真.

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（2）p 或?q 的否定：非?p 且非?q;p 且?q 的否定:非?p 或非?q.

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（3）命題的否定與否命題：

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“否命題”是對原命題“若?p，則?q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論;“命題的否定”即“非?p”，只是否定命題?p 的結(jié)論.

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二、函數(shù)與導數(shù)

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1.分段函數(shù)

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在求分段函數(shù)的值?f (x₀?)?時，要先判斷?x0?屬于定義域的哪個子集，然后代入相應的關(guān)系式；

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分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.

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2.函數(shù)的單調(diào)性與最值

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（1）區(qū)分兩個概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者是指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.

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（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不一定是整個定義域，可能是定義域的子集，但一定是連續(xù)的.

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（3）函數(shù)的額單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，

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1

但在整個定義域上不一定是單調(diào)函數(shù)，如函數(shù)?y= _x?在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性.

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（4）若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集.例如，函數(shù)?f(x)在區(qū)間(-1，0)上是減函數(shù)，在（0，1）上也是減函數(shù)，但在(-1，0)∪(0，1)上卻不

一定是減函數(shù)，如函數(shù)?f (x)?=?¹_x?.

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3.函數(shù)的奇偶性與周期性

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（1）f(0)=0 既不是函數(shù)?f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.

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（2）判斷分段函數(shù)的奇偶性要有整體的觀點，可以分類討論，也可以利用圖象進行判斷.

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4.二次函數(shù)與冪函數(shù)

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（1）對于函數(shù)?y?=?ax²?+?bx?+?c?，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足?a≠0，當題目條件未說明?a≠0 時，就要討論?a=0 和?a≠0 兩種情況.

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（2）冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.

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5.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

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（1）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，單調(diào)性不明確，從而無法確定其最值，故應分?a>1 和?0兩種情況討論.

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（2）解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問題時，要熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，弄清復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，利用換元法求解時要注意“新元”的取值范圍.

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（3）對可化為?a²?^x?+?ba?^x?+?c?=?0?或?a²?^x?+?ba?^x?+?c?3?0?(≤0)形式的方程或不等式，常借助換

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元法解決，但應注意換元后“新元”的范圍.

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6.對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

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（1）在運用性質(zhì)?log?_a?M?^a?= a?log?_a?M?(a>0，且?a≠1)時，要特別注意條件?M>0，在無?M>0 的條件下應為?log_a?M?^a?= a?log_a?M?|(α為偶數(shù)).

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（2）指數(shù)函數(shù)?y?=?a?^x?(a>0，且?a≠1)與對數(shù)函數(shù)?y?=?log_a?x?(a>0，且?a≠1)互為反函數(shù)，應從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.

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（3）解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：①務必先研究函數(shù)的定義域;②注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.

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7.函數(shù)的圖象

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（1）函數(shù)圖象的每次變換都是針對自變量“x”而言，如從?f(-2x)的圖象到?f(-2x+1)的圖象是向右平移?¹₂?個單位，即把?x 變成?x- ¹₂?.

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（2）當圖形不能準確地說明問題時，可借助“數(shù)”的精確性進行求解，解題過程中要注重數(shù)形結(jié)合思想的運用.

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8.函數(shù)與方程

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（1）函數(shù)?f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程?f(x)=0 的根，也是函數(shù)?y=f(x)的圖象與?x 軸交點的

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橫坐標.

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（2）函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件;判斷零點個數(shù)還要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.

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9.函數(shù)模型及其應用

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（1）函數(shù)模型應用不當，是常見的解題錯誤.所以要正確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型.

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（2）要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域.

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（3）注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學結(jié)果對實際問題的合理性.

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10.導數(shù)的概念及運算

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（1）利用公式求導時要特別注意除法公式中分子中的符號，防止與乘法公式混淆.復合函數(shù)的導數(shù)要正確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導.

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（2）求曲線切線時，要分清在點?P 處的切線與過點?P 的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者.

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（3）曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個.

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11.導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

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（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習慣，可使問題直觀且有條理，減小失分的可能性.

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（2）求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結(jié)論.（3）解題時要注意區(qū)別求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好?f ′(x)=0 時的情況;區(qū)分極值點和導數(shù)為?0 的點.

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12.導數(shù)的綜合應用

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（1）若函數(shù)?f(x)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則?f ′(x)≥0，而不是?f ′(x)>0(f ′(x)=0 在有限個點處取到).

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（2）利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題時，要注意問題的實際意義.

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13.定積分

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（1）被積函數(shù)若含有絕對值符號，應先去絕對值符號，再分段積分.

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（2）若定積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是積分變量.

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（3）定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限.

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（4）定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意面積非負，而定積分的結(jié)果可以為負.

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（5）將要求面積的圖形進行科學而準確地劃分，可使面積的求解變得簡捷.

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三 、數(shù)列

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1.數(shù)列的概念及簡單表示法

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（1）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點研究數(shù)列時，一定要注意自變量的取值，如

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數(shù)列?a_n??=?f (n)?)和函數(shù)?y =?f (x)?的單調(diào)性是不同的.

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（2）數(shù)列的通項公式不一定唯一.

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2.等差數(shù)列及其前?n 項和

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（1）當公差?d≠0 時，?a_n?是?n 的一次函數(shù)，當公差?d=0 時，?a_n?為常數(shù).

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（2）公差不為?0 的等差數(shù)列的前?n 項和?s_n?是?n 的二次函數(shù)，且常數(shù)項為?0.若某數(shù)列的前?n

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項和?Sn 是常數(shù)項不為?0 的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列.

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3.等比數(shù)列及其前?n 項和

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（1）注意等比數(shù)列中的分類討論.

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（2）由?a_n+1?=?q?·?a_n?(q≠0)，并不能判斷數(shù)列｛?a_n?｝是等比數(shù)列，還要驗證?a₁?是否為?0.

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4.數(shù)列求和

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（1）直接應用公式求和時，要注意公式的應用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)時，應對公比是否為?1 進行分類討論.

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（2）在應用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負號；結(jié)論中形如?aⁿ，aⁿ⁺¹?的式子要合并.

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（3）在應用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項后剩多少項.

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四、三角函數(shù)

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1.任意角的三角函數(shù)

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（1）注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于?90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角.

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（2）角度制與弧度制可利用?180°=π?rad 進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

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（3）已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置時不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.

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2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式

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（1）利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟為：去負—脫周—化銳.要特別注意函數(shù)名稱和符號的確定.

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（2）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.

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（3）注意求值與化簡后的結(jié)果要盡可能有理化、整式化.

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3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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（1）閉區(qū)間上最值或值域問題，要先在定義域基礎上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響.

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（2）要注意求函數(shù)?y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號，盡量化成ω>0 時的情況.

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（3）三角函數(shù)的最值不一定在自變量區(qū)間的端點處取得，直接將兩個端點處的函數(shù)值作為最值是錯誤的.

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4.函數(shù)?y=A?sin(ωx+φ)的圖象及應用

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（1）由函數(shù)?y=sin x 的圖象經(jīng)過變換得到?y=Asin(ωx+φ)的圖象，如先伸縮，再平移時，要把?x 前面的系數(shù)提取出來.

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（2）復合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法.函數(shù)?y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把ωx+φ看作一個整體.若ω<0，要先根據(jù)誘導公式進行轉(zhuǎn)化.

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（3）求函數(shù)?y=Asin(ωx+φ)在?x∈[m，n]上的最值，可先求?t=ωx+φ的范圍，再結(jié)合圖象得

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出?y=Asin t 的值域，即得原函數(shù)的最值.

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5.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

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”與“ ?

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（1）運用公式時注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意“1”的各種變通.

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（2）在（0，π ）范圍內(nèi)，sin(α+β)= ₂²?所對應的角α+β不是唯一的.

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（3）在三角求值時，往往要估計角的范圍后再求值.

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6.簡單的三角恒等變換

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（1）利用輔助角公式?asin x+bcos x 進行轉(zhuǎn)化時，一定要嚴格對照和、差公式，防止弄錯輔助角.

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（2）計算形如?y=sin(ωx+φ)，x∈[a，b]的函數(shù)最值時，不要將ωx+φ的范圍和?x 的范圍混淆.

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7.正弦定理、余弦定理

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（1）在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，所以要進行分類討論.

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（2）利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制.

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8.三角形的實際應用

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在實際問題中，可能會遇到空間與平面（地面）同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易弄錯.

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五、不等式

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1.不等關(guān)系與不等式

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（1）a>bT?ac>bc 或?aT?ac，當?c≤0 時不成立.

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（3）a>bT?aⁿ>bⁿ，對于正數(shù)?a、b 才成立.

a?>1 ??a>b，對于正數(shù)?a、b 才成立.

（4）?^b

（5）注意不等式性質(zhì)中“T ”的區(qū)別，如 a>b，b>c a>c，反過來?a>c，不能

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推出?a>b，b>c.

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（6）作商法比較大小時，要注意兩式的符號.

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（7）求范圍問題時，如果多次利用不等式，則可能擴大變量的取值范圍.

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2.不等式的解法及應用

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（1）對于不等式?ax²+bx+c>0，求解時不要忘記討論?a=0 時的情況.

（2）當 <0 時，要注意區(qū)分?ax²+bx+c>0(a≠0)的解集為?R 還是空集.

（3）對于含參數(shù)的不等式要注意選好分類標準，避免盲目討論.

（4）注意用“根軸法”解整式不等式的注意事項及解分式不等式?^f?^(x)?>a(a≠0)的一般思路

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g (x)

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——移項通分.

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（5）求解含參數(shù)不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關(guān)鍵”.注意：求解完之后要寫上“綜上，原不等式的解集是……”;若按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)

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取值分別說明其解集;若按未知數(shù)討論，最后應求并集.

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提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后務必用集合的形式表示;

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②不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值.

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（6）解決恒成立問題一定要弄清誰是主元，誰是參數(shù).一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

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3.二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

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（1）畫二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域時，避免錯誤的重要方法就是使二元一次不等式（組）標準化.

z

（2）通過求直線的截距?_b?的最值間接的求?z 的最值時，要注意：當?b>0 時，若截距?b 取最

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z

大值，則?z 取最小值，若截距?_b?取最小值，則?z 取最大值.

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4.基本不等式及其應用

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（1）利用基本不等式求最值時應注意“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

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（2）連續(xù)使用基本不等式求最值時要求每次等號成立的條件一致.

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（3）對實際問題，在審題和建模時一定不可忽略對目標函數(shù)定義域的準確挖掘.一般地，每個表示實際意義的代數(shù)式必須為正，由此可得自變量的取值范圍，然后利用基本不等式求最值.

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六、平面向量

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1.平面向量的概念及線性運算

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（1）求解向量的概念問題時要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；二是要考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.

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（2）在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得的向量是所求向量的相反向量，導致錯誤.

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（3）兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況，要考慮全面.

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2.平面向量的基本定理及坐標表示

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（1）要區(qū)分點的坐標和向量的坐標，向量坐標中包含向量大小和方向兩種信息.

（2）若?a=(x1,y1),b=(x2,y2),則?a∥b 的充要條件不能表示成?^x1?= ^y1?，因為?x2,y2?有可能等于?0，

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x2 y2

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所以應該表示為?x1y2-x2y1=0.

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（3）使用平面向量基本定理時一定要注意兩個基底向量不共線.

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3.平面向量的數(shù)量積

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（1）對數(shù)量積的運算律要準確理解、應用.例如,a·b=a·c（a≠0）不能得出?b=c,因為兩邊不能同時約去向量?a.

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（2）若兩個向量的夾角為銳角，則有?a·b>0,反之不成立;若兩個向量的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立.

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4.平面向量應用舉例

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（1）注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價.

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（2）注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系.

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（3）利用向量求解解析幾何中的平行與垂直問題，可有效避免因斜率不存在使問題漏解的情況.

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七、立體幾何

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1.三視圖與直觀圖

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（1）三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬，即“長對正，寬相等，高平齊”.

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（2）解決有關(guān)“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐標系，盡量運用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標軸，圖形的對稱中心為原點，注意兩個圖形中關(guān)鍵線段長度的關(guān)系.

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（3）若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法．

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（4）確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同．

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2.空間幾何體的表面積

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（1）求組合體的表面積時，要注意各幾何體重疊部分的處理．

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（2）底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯.

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3.空間點、線、面位置關(guān)系

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（1）正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在一個平面內(nèi)”．

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（2）不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”的條件．

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（3）兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°].

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4.直線、平面平行的判定與性質(zhì)

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（1）在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤．

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（2）在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質(zhì)定理時，其順序則恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”．

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（3）解題中注意符號語言的規(guī)范應用.

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5.直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

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（1）在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．

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（2）面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可.

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6.空間向量及其應用

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（1）求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應進行轉(zhuǎn)化.

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（2）用向量方法證明直線?a∥b，只需證明向量?a=λb(λ∈R）即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外.

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（3）利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角．因為向量夾角與各空間角的定義、范圍不同．

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（4）求點到平面的距離，有時利用等體積法求解可能更方便．

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（5）求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角.

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八、解析幾何

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1.直線方程

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（1）明確直線方程各種形式的適用條件:點斜式、斜截式方程適用于與?x 軸不垂直的直線；兩點式方程不能表示垂直于?x 軸、y 軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線．

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（2）截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負可為零，在求解與截距有關(guān)的問題時，要注意討論截距是否為零．

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（3）求直線方程時，若不能判斷直線是否存在斜率，則應分類討論，即應對斜率是否存在加以討論.

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（4）當直線的斜率不存在時，直線的傾斜角為?^p₂?，而不是不存在；當直線與?y 軸垂直時，直線的傾斜角為?0，而不是π?.

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2.兩直線位置關(guān)系

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（1）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先分析直線的斜率是否存在.若兩條直線的斜率都存在，則可根據(jù)判定定理判斷兩條直線的位置關(guān)系，若任一條直線的斜率不存在，則要單獨考慮.

（2）在運用兩平行直線間的距離公式?d= ?^C1?^-?^C2 時，一定要注意將兩方程中 x,y?的系數(shù)化

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_?A²?₊?_B²

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為相同的形式.

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3.圓的方程

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（1）圓的標準方程和圓的一般方程都含有三個獨立的參數(shù)，因此，確定一個圓的方程需要三個獨立的條件．

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（2）過圓外一定點求圓的切線，必有兩條.若只求出一條，除了考慮運算過程是否正確外，還應該考慮切線斜率不存在的情況.

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4.圓錐曲線的方程和性質(zhì)

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（1）區(qū)分橢圓兩種標準方程的方法是比較標準方程中?x2?與?y2?的分母大小．

（2）注意橢圓的范圍，若設橢圓?^x2??+?^y2??=1（a>b>0）點的坐標為?P(x,y)，則｜x｜≤a,這往

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_a2 _b2

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往在求與點?P 有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因.

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（3）區(qū)分雙曲線中的?a，b，c 大小關(guān)系與橢圓中的?a，b，c 大小關(guān)系，在橢圓中?a²＝b²＋?c²?，而在雙曲線中?c²＝a²＋b².

（4）雙曲線的離心率?e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率?e∈(0,1)．

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（6）求拋物線的標準方程時一般用待定系數(shù)法求出?p 值，但要先判斷拋物線是否為標準方程，以及是哪一種標準方程．

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（7）注意應用拋物線的定義解決問題．

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（8）求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應關(guān)系．檢驗可從以下兩個方面進行：一是方程的變形是否是同解變形；二是是否符合題目的實際意義．

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（9）求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求.求點的軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明點的軌跡的形狀、位置、大小等．

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5.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系

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（1）直線與雙曲線交于一點時，其位置關(guān)系不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點.

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（2）在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情.（3）若利用弦長公式計算問題，在設直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況．

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（4）對于中點弦問題，可以利用“點差法”求解，但不要忘記驗證?>0 或說明中點在曲線內(nèi)部．

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九、計數(shù)原理

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易錯知識清單

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1.兩個計數(shù)原理

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（1）切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行．

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（2）分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步．

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（3）確定題目中是否有特殊條件限制．

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2.排列與組合

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（1）解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，然后利用兩個計數(shù)原理做最后處理．

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（2）解受條件限制的組合題時，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決.分類標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏現(xiàn)象．

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（3）對于選擇題要謹慎處理，注意答案的不同等價形式.處理選擇題可采用排除法，錯誤的答案會有重復或遺漏現(xiàn)象.

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3.二項式定理

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（1）項的系數(shù)與?n 和?a，b 的值有關(guān)，二項式系數(shù)只與?n 有關(guān)，且大于?0(n 為項數(shù)).（2）求二項式系數(shù)的和，可采用“賦值法”．

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（3）關(guān)于組合式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種不同算法．（4）展開式中第?k＋1 項的二項式系數(shù)與第?k＋1 項的系數(shù)一般是不相同的.在具體求各項的系數(shù)時，一般先確定符號，再確定數(shù)值；確定符號時對根式和指數(shù)的運算要細心，以防出錯.

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十、概率與統(tǒng)計

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易錯知識清單

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1.隨機事件的概率

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（1）正確認識互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．

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（2）需準確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義.

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2.古典概型

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（1）古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，它們是不是等可能的．

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（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

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提示：①公式的作用是求?A∪B?的概率，當?A∩B＝ 時，A、B 互斥，此時 P(A∩B)＝0，所

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以?P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②要計算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是確定事件 A ∩B，并求其概率；③該公式可以看作一個方程，知三可求一.

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3.幾何概型

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（1）準確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵.

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（2）幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.

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4.二項分布

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（1）運用公式?P(AB)=P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當事件?A、B 相互獨立時，公式才成立.

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（2）獨立重復試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中某事件發(fā)生的概率相等.注意恰好與至多（少）的關(guān)系，靈活運用對立事件.

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5.離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布

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（1）會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤．

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（2）對于實際應用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差．

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（3）解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點:①對稱軸?x=μ;②標準差σ;③分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ,σ,分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為?3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為?x=0.

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6.隨機抽樣

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（1）系統(tǒng)抽樣的特點：適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機會相等；總體分組后，在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣．

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（2）進行分層抽樣時應注意以下幾點：

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①分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩

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層之間的樣本差異要大，且互不重疊.

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②為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性相同.

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7.用樣本估計總體

（1）頻率分布直方圖的縱坐標為?^頻率?，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)

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組距

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的頻率.

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（2）條形圖的縱坐標為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤.

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8.變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例

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（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同．函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系．例如正方形面積?S 與邊長?x 之間的關(guān)系?S＝x²?就是函數(shù)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系．例如商品的銷售額與廣告費是相關(guān)關(guān)系．兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提．

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（2）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義，根據(jù)回歸方程進行預報，得出的僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值.

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十一、算法、復數(shù)、推理與證明

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易錯知識清單

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1.算法

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（1）注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.

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（2）注意條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：循環(huán)結(jié)構(gòu)具有重復性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒有重復性，并且循環(huán)結(jié)構(gòu)中必定包含一個條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時終止循環(huán)體.

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（3）對條件結(jié)構(gòu)，無論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個分支中的一個，不能同時時執(zhí)行兩個分支.

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（4）循環(huán)語句有“直到型”與“當型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，循環(huán)語句主要解決需要反復執(zhí)行的任務，要理解循環(huán)結(jié)構(gòu)中各變量的具體含義及變化規(guī)律.（5）關(guān)于賦值語句，有以下幾點需要注意：

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①賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式，例如?3=m 是錯誤的.

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②賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量，例

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如?Y=x，表示用?x 的值替代變量?Y 的原先的取值，不能改寫為?x=Y.因為后者表示用?Y 的值替代變量?x 的值.

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③在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現(xiàn)多個“=”.

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（6）應用循環(huán)結(jié)構(gòu)解決問題時，一定要注意兩個變量?i 和?S 的初始值及運算變量到底是什么，它遞增的值是多少，即“步長”為多少，由輸出的結(jié)果來判斷對應的判斷條件到底是什么，明確哪兒是計數(shù)器，哪兒是賦值器，注意循環(huán)體內(nèi)各語句不能隨意顛倒，準確判斷結(jié)束

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循環(huán)的條件，必要時，要對“邊界”單獨檢驗.

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2.復數(shù)

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（1）判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于?0 是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.

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（2）對于復系數(shù)（系數(shù)不全為實數(shù)）的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程的解，一般都是將實根代入方程，用復數(shù)相等的條件進行求解.

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（3）兩個虛數(shù)不能比較大小.

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（4）利用復數(shù)相等?a+bi=c+di 列方程時，注意?a,b,c,d∈R 的前提條件.

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（5）在復數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則的方向是應注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.

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（6）注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復數(shù)集中來.例如，若?z1，z2∈

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C,z1²+z2²=0，就不能推出?z1=z2=0；z²<0?在復數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

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3.推理與證明

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（1）解決類比問題時，應先弄清所給問題的實質(zhì)及已知結(jié)論成立的條件，再去類比另一類問題.

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（2）解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤.應由條件多列舉一些特殊情況再進行歸納.

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（3）用分析法證明問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證（欲證）……”“即證……”“只需證……”等，逐步分析，直至一個明顯成立的結(jié)論.

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（4）利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結(jié)論錯誤，并用假設的命題進行推理，如果沒有用假設的命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的.

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（5）用數(shù)學歸納法證明問題時初始值?n0?不一定是?1.

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（6）推證?n=k+1 時一定要用上?n=k 時的假設，否則不是數(shù)學歸納法.

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十二、選考部分

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易錯知識清單

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1.坐標系與參數(shù)方程

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（1）化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角或代數(shù)）消去法.在消參的過程中注意變量?x,y 取值范圍的一致性,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定?f(t)和?g(t)(t 為參數(shù))的值域，從而確定?x,y 的取值范圍.

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（2）當一個參數(shù)方程中除已知變量?x,y 外，還有兩個或兩個以上的字母時，一定要認清哪個是參變量（參數(shù)），哪個是常數(shù)，弄清參數(shù)所代表的幾何意義及取值范圍是什么，認真觀察方程的表現(xiàn)形式以及題目本身隱含的一些限制條件，以便于尋找最佳化簡途徑.

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（3）化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)?t，先確定一個關(guān)

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系?x=f(t)（y=g(t)），再代入普通方程?F(x,y)=0，求得另一關(guān)系?y=g(t)（x=f(t)），一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率、某一點的橫坐標（縱坐標）.

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（4）直角坐標與極坐標互化可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，但一定要注意二者互化的前提條件.把直角坐標化為極坐標時，一定要明確點所在的象限（即極角的終邊的位置），以便正確求出極角.

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2.不等式選講

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（1）求解不等式的過程實質(zhì)就是一個等價轉(zhuǎn)化的過程，通過等價轉(zhuǎn)化將所求不等式變?yōu)楹唵蔚牟坏仁剑ńM），一定要注意在轉(zhuǎn)化過程中限制條件不可丟失，如分母不能為零、對數(shù)的

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真數(shù)與底數(shù)的限制等.

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（2）運用不等式的性質(zhì)時，一定要注意不等式成立的條件，弱化了條件或強化了條件都可能得出錯誤的結(jié)論.

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（3）利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正、二定、三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式.常用的初等變形方法有裂項、增減項、配系數(shù)等.

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（4）|a+b|≤|a|+|b|,從左到右是一個放大過程，從右到左是一個縮小過程，證明不等式時可以直接用，也可以利用它消去變量求最值.絕對值三角不等式是證明與絕對值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時還需要通過適當?shù)淖冃问蛊浞鲜褂媒^對值三角不等式的條件.

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（5）在利用分類討論解決含多個絕對值的不等式時，應做到分類不重、不漏；在某個區(qū)間上解出不等式后，不要忘了與前提條件求交集.

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（6）不等式的解集為?R 是不等式恒成立問題，而不等式的解集為 的對立面也是不等式恒成立問題，如?f(x)>m 的解集為 ，則?f(x)≤m 恒成立.

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（7）用反證法證明命題時，推出的矛盾必須是明顯的.放縮法的依據(jù)是不等式的傳遞性，運用放縮法證明不等式時，要注意放縮適度，放得過大或縮得過小都不能達到證明目的，常用的放縮方法有：①舍去或添加一些已知正負的項；②將分子或分母放大或縮小.