方陣問題
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夯實基礎
1.在一個正方形花壇的四周栽樹，要求4個頂點各栽1棵，每邊只栽10棵，共栽了（ ?。┛脴洌?/span>
A.36 ???B.32 ???C.48 ???D.40
【答案】A
【解析】
試題分析：此題可以看做是空心方陣問題，四周點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4，由此即可解答．
解：10×4﹣4=36（棵），
答：一共栽了36棵樹．
故選：A．
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2.一隊學生圍成一個正方形，每邊站了12人（四個頂點都有人），共有（ ?。┟麑W生．
A.44 ???B.48 ???C.52 ???D.40
【答案】A
【解析】
試題分析：因為每個頂點處的人數(shù)在每條邊上重復相加，所以最外層人數(shù)=每邊人數(shù)×4﹣4，由此即可解答．
解：12×4﹣4，
=48﹣4，
=44（人），
答：共有44人．
故選：A．
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3.一個正方形平頂天花板上每邊要裝20盞彩燈，一共需要（ ?。┍K彩燈．
A.40 ???B.76 ???C.44 ???D.50
【答案】B
【解析】
試題分析：這個問題可以看做是空心方陣問題：根據(jù)四周點數(shù)之和=每邊點數(shù)×4﹣4即可計算所需要的彩燈盞數(shù)．
解：20×4﹣4=76（盞），
答：一共需要76盞燈．
故選：B．
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4.王大伯在正方形魚塘的四周栽樹，每邊栽5棵，王大伯最少能栽??????棵，最多能栽????
??棵．
【答案】16，20．
【解析】
試題分析：要使植樹的棵數(shù)最少，那么四個頂點都栽樹，則植樹棵數(shù)=每邊植樹棵數(shù)×4﹣4；要使植樹的棵數(shù)最多，那么四個頂點都不栽，則栽樹棵數(shù)=每邊栽樹棵數(shù)×4，據(jù)此計算即可解答．
解：植樹的棵數(shù)最少是：
5×4﹣4
=20﹣4
=16（棵）
植樹的棵數(shù)最多是：
5×4=20（棵）
答：王大伯最少能栽 16棵，最多能栽20棵．
故答案為：16，20．
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5.在一個正方形操場的四周插上紅旗，4個角上也插上紅旗，如果每條邊上插15面，那么四周一共插了 ??? 面紅旗．
【答案】56
【解析】
試題分析：每一邊上都插了15面紅旗，那么15×4=60（面），其中四個角的紅旗重復加了一次，所以要減去，即可得出紅旗的總面數(shù)．
解：15×4﹣4，
=60﹣4，
=56（面），
答：四周一共插了56面紅旗．
故答案為：56．
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6.36個同學圍成一個正方形，相鄰兩人之間的距離相等．每條邊上站了 ??? 人．
【答案】10
【解析】
試題分析：因為圍成一個封閉圖形，所以間隔數(shù)等于總?cè)藬?shù)36個，因為是正方形，所以每邊上有36÷4=9個間隔，則每邊上的人數(shù)等于間隔數(shù)加1即可解答．
解：36÷4+1，
=9+1，
=10（個）．
答：每邊上站了10人．
故答案為：10．
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7.?一個正方形游泳池的四周要安裝護欄，每邊安裝10根，每個頂點都要安裝，一共要安裝多少根？
【答案】36根
【解析】
試題分析：每個邊上安裝10根，一共是4個邊，所以是10×4根，但是四個頂點的被計算了2次，所以再減去4就是一共要安裝的根數(shù)。
解：10×4-4
=40-4
=36（根）
答：一共要安裝36根。
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8.?在一塊正方形場地四周種樹，每邊都種25棵，并且四個頂點都種有1棵樹，問這個場地四周共種樹多少棵？
【答案】96棵
【解析】
試題分析：根據(jù)題意，在一塊正方形場地四周種樹，每邊都種25棵，可知一共是25×4=100（棵），因為四個頂點都種有一棵樹，頂點上的樹，它是兩條邊的交點，在數(shù)樹時，每個頂點上的樹都重復數(shù)了一次，因此要減去4就是所求的結(jié)果．
解：25×4=100（棵），
因每個頂點上的樹數(shù)重復了，
所以這個場地四周共種樹是：100﹣4=96（棵）．
答：一共栽了96棵樹．
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9.四年級1班49人排成一個方隊．這個方隊最外圍一共有多少人？
【答案】24人
【解析】
試題分析：先根據(jù)方陣總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)，求出這個方陣的每邊人數(shù)，再利用方陣最外層四周人數(shù)=每邊人數(shù)×4﹣4計算出最外層四周人數(shù)即可．
解：因為7×7=49，所以49人組成的方陣的每邊人數(shù)是7人，
7×4﹣4
=28﹣4
=24（人）；
答：這個方隊的最外圍一共有24人．
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10.四年級同學參加廣播操比賽，要排列成每行8人，共8行方陣。排列這個方陣共需要多少名同學？[來源:學科網(wǎng)]
【答案】64名
【解析】
試題分析：這是一道實心方陣問題，求這個方陣里有多少名同學，就是求實心方陣中布點的總數(shù)。排列成每行8人點，共8行，就是有8個8點。求方陣里有多少名同學，就是求8個8人是多少人？
解：8×8=64（人）
答：排列這個方陣，共需要64名同學。
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11.同學們排成一個方陣做早操，每行9人，這個方陣一共有多少人？
【答案】81人
【解析】
試題分析：這是一道實心方陣問題，求這個方陣里有多少人，就是求實心方陣中布點的總數(shù)。
解：9×9=81（人）
答：這個方陣一共有81人。
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12.棋子若干粒，恰好可排成每邊8粒的正方形，棋子的總數(shù)是多少？棋子最外層有多少粒？
【答案】棋子共有64粒,最外層有28粒
【解析】
試題分析:棋子排成每邊8粒的正方形,即每排八粒,共八排,可見
棋子總數(shù)是8個8粒,即8×8=64粒,最外層的棋子數(shù)可按公式:一周總點數(shù)=每邊粒數(shù)×4-4求得.[來源:學科網(wǎng)ZXXK]
解:8×8=64(粒)
8×4-4=32-4=28(粒)
答:棋子共有64粒,最外層有28粒.
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拓展提高
1.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵?
【答案】在兩種方法中，方陣最外層都有楊樹12棵，柳樹12棵，方陣中總共有楊樹25棵，柳樹24棵，或者有楊樹24棵，柳樹25棵
【解析】
試題分析：根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設黑點表示楊樹，白點表示柳樹觀察圖（1）（2）不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等。即最外層楊、柳樹分別為
（7-1）×4÷2=12（棵）。[來源:學科網(wǎng)]
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當柳樹種在方陣最外層的角上時，最內(nèi)層的一棵是柳樹;當楊樹種在方陣最外層的角上時，最內(nèi)層的一棵是楊樹，即在方陣中，楊樹和柳樹總數(shù)相差1棵。
解：（1）最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為：（7-1）×4÷2=12（棵）
（2）當楊樹種在最外層角上時，楊樹比柳樹多1棵：
楊樹：（7×7+1）÷2=25（棵）
柳樹：7×7-25=24（棵）
（3）當柳樹種在最外層角上時，柳樹比楊樹多1樹
柳樹（7×7+1）÷2=25（棵）
楊樹7×7-25=24（棵）
答：在兩種方法中，方陣最外層都有楊樹12棵，柳樹12棵，方陣中總共有楊樹25棵，柳樹24棵，或者有楊樹24棵，柳樹25棵。
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2.四年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，請問：方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個方陣共有多少人?
【答案】方陣最外層每邊的人數(shù)是6人，整個方陣共有36人
【解析】
試題分析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關系可知：
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求出來了。
解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：20÷4+1=5+1=6（人）
（2）整個方陣共有學生人數(shù)：6×6=36（人）
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3.小紅用棋子擺成一個正方形實心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？
【答案】10枚
【解析】
解：這要用到方陣的公式逆運算，100必然是一個數(shù)的平方數(shù)。
因為10×10＝100（枚），并且是實心的方陣，所以最外層有10枚。
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4.學校學生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學生多少人?
【答案】256人
【解析】
解：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關系可知：
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。
方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）整個方陣共有學生人數(shù)：16×16=256（人）。
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5.有若干盆鮮花擺成一個中空方陣，最外層共擺48盆，最內(nèi)層共擺24盆，請問：共擺了多少盆鮮花？
【答案】144盆
【解析】
解：由于方陣中相鄰兩個正方形每邊相差8，因此第二層應擺鮮花48－8＝40盆，第三層有花40－8＝32盆，第四層有花32－8＝24盆。這樣通過枚舉方法求出一共有四層花，及中間兩層花的總數(shù)。因此一共擺了48＋40＋32＋24＝144盆。
答：一共擺了144盆。
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6.運動員入場式要求排成一個9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運動員？
【答案】32人
【解析】
解：9×9＝81（人）
（9-2）×（9-2）＝49（人）
81-49＝32（人）
答：要減少32名
運動員。
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7.在一個正方形的每條邊上放8枚棋子，四條邊上最多能擺多少枚？
最少能擺多少枚？（用○表示棋子）
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【答案】
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【解析】
試題分析：四個角都不放時，需要的花盆數(shù)最多，利用每邊盆數(shù)×4計算即可；四個角都放時，需要的花盆數(shù)最少，根據(jù)每邊盆數(shù)×4﹣4即可解答；
解：如圖：
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8×4=32（枚），
8×4﹣4=28（枚），
答：最多需要32枚，最少需要28枚．
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8.一個實心方陣，最外層共有44人．請問：
（1）這個方陣共有多少人？
（2）要讓這個方陣減少一半，一共減少了多少人？
【答案】（1）144人；（2）減少了108人．
【解析】
試題分析：（1）因為方陣的四個角上都是重復的，方陣的四個角上都是重復了一次，所以計算時要減去，算每邊人數(shù)時，先用總數(shù)加上4，所以每邊上有（44+4）÷4=12人；
（2）減少一半就是由原來的12行12列，減少到6行6列，6行6列就是6×6=36人，進而算出減少的即可．
解：（1）（44+4）÷4=12（人）
12×12=144（人）
答：這個方陣共有144人．
（2）減少一半就是6行6列，
144﹣6×6
=144﹣36
=108（人）
答：一共減少了108人．
[來源:學,科,網(wǎng)Z,X,X,K]
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9.有100個人站成一個實心方陣，那么這個方陣的最外層共有多
少人？從外向里算起的第二層有多少人？從里向外算起的第三層有多少人？
【答案】方陣的最外層共36人，從外向里算起的第二層有28人，從里向外算起的第三層有20人
【解析】
試題分析：（1）由題意，100個人站成一個實心方陣，10×10=100，所以最外層每邊有10人，要求最外層一共有多少人，根據(jù)“四周的人數(shù)=（每邊的人數(shù)﹣1）×4”解答；
（2）由于方陣相鄰兩層每邊相差2人，相鄰兩層人數(shù)相差8人，所以用最外層的人數(shù)減去8即得從外向里算起的第二層有多少人；
（3）這個實心方陣的最里層有4人，用4+8+8即得從里向外算起的第三層有多少人．
解：（1）最外層：（10﹣1）×4=36（人），
（2）從外向里算起的第二層：36﹣8=28（人），
（3）從里向外算起的第三層：4+8+8=20（人），
答：這個方陣的最外層共36人，從外向里算起的第二層有28人，從里向外算起的第三層有20人．
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10.解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？一共有多少人？
【答案】5層，160人
【解析】
解：（48-16）÷8+1＝5（層）
（48+16）×5÷2＝160（人）
答：這個方陣有5層，一共有160人。
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11. 解放軍戰(zhàn)士排成一個每邊12人的中空方陣，共四層，求總?cè)藬?shù)？
【答案】128人
【解析】
解法1：這樣想：把中空方陣的總?cè)藬?shù)，看作中實方陣總?cè)藬?shù)減去空心方陣人數(shù)。
（1）中實方陣總?cè)藬?shù)：12×12=144（人）（2）第四層每邊人數(shù)：12-2×（4-1）=6（人）
（3）空心方陣人數(shù)：（6-2）×（6
-2）=16（人）（4）中空方陣人數(shù)：144-16=128（人）
小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=外邊人數(shù)×外邊人數(shù)-（內(nèi)邊人數(shù)-2）×（內(nèi)邊人數(shù)-2）
解法2：這樣想：把中空方陣分成四個相等的長方形。
（1）每個長方形的長=外邊人數(shù)-層數(shù)，12-4=8（人）；（2）每個長方形的寬是層數(shù)：4人；
（3）總?cè)藬?shù)：8×4×4=128（人）
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12.一隊學生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人？
【答案】144人
【解析】
解：我們還可以這樣想：原來是一個7行7列的方陣，若去掉4行4列后，仍剩下一個小正方形方陣，因此去掉4行4列的總?cè)藬?shù)＝原正方形方陣每邊人數(shù)－4，即去掉的總?cè)藬?shù)＝20×20－（20－4）×（20－4）[來源:學*科*網(wǎng)]
??????????????＝400－256＝144（人）
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13.同學們排成一個三層的空心方陣。已知最內(nèi)層每邊有6人，這個方陣共有多少人？
【答案】84人
【解析】
試題分析 要求出這個方陣有多少人，就要先求出這個方陣最外層每邊多少。已知最內(nèi)層每邊有6人，又知道這個空心方陣有3層，根據(jù)方陣問題應用題特點，可以求出這個方陣最外層每邊有6+（3-1）×2人，即10人。又根據(jù)方陣問題應用題數(shù)量關系：空心陣總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)×4，即可求出這個方陣共有多少人。
解：[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人）
答：這個方陣共有84人。
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巔峰突破
1.參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？
【答案】289人
【解析】
試題分析：如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1。
解：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù)＝（33+1）÷2＝17人，方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17×17＝289（人）。
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2.軍訓的學生進行隊列表演，排成了一個7行7列的正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？
【答案】要去掉13人；還剩下36人
【解析】
解：如下圖：
方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為：7×2－1＝13（人）
剩下的人數(shù)為：7×7-13＝36（人）
方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形隊列，即6×6＝36（人）
去掉的人數(shù)為：7×7-6×6＝13（人）
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3.設計一個團體操表演隊，想排成6層的中空方陣，已知參加表演的有360人，問最外層每邊應安排多少人？
【答案】21人
【解析】
試題分析:可利用公式:“中空方陣最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)”求得。
解：360÷4÷6+6
=90÷6+6
=15+6
=21（人）
答：最外層每邊應安排21人。
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4.?用棋子擺成方陣，恰為每邊24粒的實心方陣，若改為3層的空心方陣，它的最外層每邊應放多少粒？
【答案】51粒
【解析】
解:24×24=576（粒）
576÷4÷3+3
=48+3
=51(粒)
答:最外層每邊棋子數(shù)為51粒。
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5.有一隊學生排成一個空心方陣，最外層60人，最內(nèi)層28人，求總?cè)藬?shù)？
【答案】220人
【解析】
解：60÷4+1=16（人）……最外每邊人數(shù)
16×16=256（人）……實心方陣總?cè)藬?shù)
28÷4+1=8（人）……最里層每邊人數(shù)
（8-2）×（8-2）=36（人）……最里實心方陣
256-36＝220（人）……總?cè)藬?shù)
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6.儀仗隊原計劃64名少先隊員手持彩旗，在彩車周圍排成一個每邊二層的方陣，后來決定在方陣外面再增加一層，成為三層方陣，求需要增加多少名學生？
【答案】44人
【解析】
解：（64+8）÷2=36（人） ??36+8=44(人) ??增加人數(shù)
或 ?64÷4÷2+2=10(人) ????(10+2)×4-4=44(人)
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7.明明用圍棋子擺成一個三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個，明明擺這個方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個三層空心方陣共用了多少枚棋子？
【答案】這個方陣最里層一周有40個棋子；擺這個中空方陣共用144個棋子
【解析】
試題分析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個，知道最外面一層，每邊放15個，可以求出最里層每邊的個數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。
（2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4，計算出這個中空方陣共用棋子多少個。
解：（1）最里層一周棋子的個數(shù)是：（15-2-2-1）×4=40（個）
（2）這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3）×3×4=144（個）
答：這個方陣最里層一周有40個棋子;擺這個中空方陣共用144個棋子。
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8.?一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形縱橫兩個方面各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少只？
【答案】40只
【解析】
試題分析：先由多余和不夠的棋子數(shù)求出縱橫方向都增加一層的棋子數(shù)，再求正方形每邊的棋子數(shù)。
解：縱橫方向各增加一層，所差棋子只數(shù)是：4＋9=13(只)
若棋子增加9只后，則正方形每邊棋子只數(shù)是：(13+1)÷2=7(只)
原來棋子只數(shù)是：7×7-9=40(只)
答：有棋子40只。
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9.同學們排練團體操，排成一個方陣，中間的實心方陣是女同學，外面三層是男同學，最外圈兩層又是女同學。已知方陣中男同學是108人，問女同學是多少人？
【答案】148人
【解析】
試題分析：我們可以把這個團體分解成三個方陣：3層的男生空心方陣，里面的女生實心方陣，外面的2層女生空心方陣。女同學的人數(shù)就是兩個女生方陣的人數(shù)之和。
解：先由男生總?cè)藬?shù)，求出3層的男生空心方陣外層一邊的人數(shù)：108÷4÷3+3=12（人）
因為每向里一層,每條邊上的人數(shù)就少2，所以：
（1）里面女生實心方陣每行人數(shù)為：12-3×2=6（人），總?cè)藬?shù)為：6×6=36（人）；
（2）外面2層女生空心方陣最外層每邊人數(shù)為：12+2×2=16（人），總?cè)藬?shù)為：（16-2）×2×4=112（人）；
女同學總?cè)藬?shù)為:112+36=148(人)。
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10.某小學四年級的同學排成一個四層空心方陣還多15人，如果在方陣的空心部分再增加一層又少21人。這個小學四年級的學生一共有多少人？
【答案】239人
【解析】
試題分析：排成四層空心方陣多15人，在方陣的空心部分增加一層21人，說明增加這一層的人數(shù)就是從外向內(nèi)第五層的人數(shù)是（15+21）人，根據(jù)每相鄰兩層的人數(shù)相差8人，可分別求出每層人數(shù)，然后相加，再加上多的15人，就可求出四年級的總?cè)藬?shù)。
解：（1）從外向內(nèi)第五層有多少人？
15+21=36（人）
（2）從外向內(nèi)第四層有多少人？
36+8=44（人）
（3）從外向內(nèi)第三層有多少人？
44+8=52（人）
（4）從外向內(nèi)第二層有多少人？
52+8=60（人）
（5）最外層有多少人？
60+8=68（人）
（6）四年級一共有多少人？
44+52+60+68+15=239（人）
答：四年級的學生一共有239人。
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11.?育英小學四年級的同學排成一個實心方陣隊列，還剩下5人，如果橫豎各增加一排，排成一個稍大的實心方陣，則缺少26人。育英小學四年級有多少人？
【答案】230人
【解析】
試題分析：排成一個實心方陣隊列，還剩下5人，說明是多出5人，如果橫豎各增加一排后，缺少26人，說明橫豎各增加一排所需要的人數(shù)是5人與26人的和，那么（5+26）人相當原來方陣中兩排的人數(shù)多1人，從（5+26）人中減去角上的1人，再除以2，就可求出原來方陣中一排的人數(shù)。因此，可求出原來方陣中的人數(shù)，然后加上剩下的5人，就可求出四年級的總?cè)藬?shù)是多少人。
解：（1）原來方陣中每排有多少人？
（5+26-1）÷2=15（人）
（2）四年級共有多少人？
15×15+5=230（人）
答：育英小學四年級有230人。
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12.一隊戰(zhàn)士排成中空方陣，最外層的人數(shù)為44人，最內(nèi)層的人數(shù)為28人，這方陣共有多少人？
【答案】144人
【解析】
解：（1）44÷4+1=12（人） ??
（2）12×12=144（人）
（3）28÷4+1=8（人） ???
（4）（8-2）×（8-2）=36（人）
（5）144-36=108（人）……空心方陣人數(shù)
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13.學校進行課間操比賽，高年級同學恰好可以排成一個實心方陣，可學校操場較小，只好橫豎各減少一排，這樣就減少了23個人，問這個學校高年級有多少個學生？
【答案】144人
【解析】
解：（23+1）÷2=12（人）
12×12=144（人）
或 （23-1）÷2+1=12（人）
12×12=144(人)……高年級人數(shù)
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