倒推與還原問題

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“一個(gè)數(shù)加上3，乘3，再減去3，最后除以3，結(jié)果還是3，這個(gè)數(shù)是幾？”像這樣已知一個(gè)數(shù)的變化過程和最后的結(jié)果，求原來的數(shù)，我們通常把它叫做“還原問題”。解答還原問題，一般采用倒推法，簡單說，就是倒過來想。

解答還原問題，我們可以根據(jù)題意，從結(jié)果出發(fā)，按它變化的相反方向一步步倒著推想，直到問題解決。同時(shí)，可利用線段圖表格幫助理解題意。

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夯實(shí)基礎(chǔ)

1.?填上合適的數(shù)。

（1）［（□－8）＋16］÷7×4=80

（2）（□×7÷14＋98－8）÷10=14

（3）95÷（2×□－3）=5

（4）25×66÷（3×□＋2）=150

（5）［（□＋8）×8－8］÷8=81

【答案】132，100，11，3，74

【解析】

解：得用倒推法解決問題。

（1）80÷4×7-16+8＝132；

（2）（14×10+8-98）×14÷7＝100；

（3）（95÷5+3）÷2＝11；

（4）（25×66÷150-2）÷3＝3；

（5）（81×8+8）÷8-8＝74

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2.某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，則這個(gè)數(shù)是多少?

【答案】1

【解析】

解：這個(gè)數(shù)除以6之前為6×6＝36，減去6之前為36+6＝42，乘以6之前為42÷6＝7，加上6之前為7－6＝1。

所以這個(gè)數(shù)為1。

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3.?一個(gè)減24加上15，再乘8得432，求這個(gè)數(shù)。

【答案】63

【解析】

解：我們可以從最后的結(jié)果432出發(fā)倒著推想。最后是乘8得432，如果不乘8，那應(yīng)該是432÷8=54；如果不加上15，應(yīng)該是54－15=39；如果不減去24，那應(yīng)該是39＋24=63。

因此，這個(gè)數(shù)是63。

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4.?有一個(gè)數(shù)，把它乘以4以后減去46，再把所得的差除以3，然后減去10，最后得4。問：這個(gè)數(shù)是幾？

【答案】22

【解析】

試題分析：這個(gè)問題是由（□×4-46）÷3-10＝4，

求出□。我們倒著看，如果除以3以后不減去10，那么商應(yīng)該是4＋10＝14；如果在減去46以后不除以3，那么差該是14×3＝42；可知這個(gè)數(shù)乘以4后的積為42＋46＝88，因此這個(gè)數(shù)是88÷4=22。

解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。

答：這個(gè)數(shù)是22。

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5.?小馬虎在做一道加法題目時(shí)，把個(gè)位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，結(jié)果得到的“和”是123。問：正確的結(jié)果應(yīng)是多少？

【答案】169

【解析】

試題分析：利用還原法。因?yàn)榘褌€(gè)位上的5看成9，所以多加了4；又因?yàn)榘咽簧系?看成3，所以少加了50。在用還原法做題時(shí)，多加了的4應(yīng)減去，多減了的50應(yīng)加上。

解：123-4＋50＝169。

答：正確的結(jié)果應(yīng)是169。

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6.?一個(gè)數(shù)加上25，再減去38后是20。這個(gè)數(shù)是多少？

【答案】33

【解析】

試題分析：我們從問題入手，按照下圖的思路來尋求解決辦法。

解：

要求的這個(gè)數(shù)最后是20，如果不減去38，就是20＋38＝58；如果不加上25，就是58－25＝33。算完后注意這樣檢驗(yàn)：33＋25－38＝20。

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7.?一個(gè)數(shù)乘4，再除以3后是8。這個(gè)數(shù)是多少？

【答案】6

【解析】

試題分析：我們從問題入手，按照下圖的思路來尋求解決辦法。[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]

解：??

要求的這個(gè)數(shù)最后是8，如果不除以3，就是8×3＝24；如果不乘4，就是24÷4＝6。算完后注意這樣檢驗(yàn)：6×4÷3＝8。

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8.?小剛的姥姥今年年齡減去7歲后，縮小9倍，再加1歲后才10歲。小剛的奶奶今年多少歲？

【答案】88

【解析】

試題分析：我們從問題入手，按照下圖的思路來尋求解決辦法。

解：

從最后一個(gè)條件恰好是100歲向前推算，加上1歲之后是10歲，沒有加1歲之前應(yīng)是10－1＝9歲；沒有縮小9倍之前應(yīng)是9×9＝81歲；減去7之后是81歲，沒有減去歲7前應(yīng)是81＋7＝88歲。

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9.?老爺爺說：“把我的年齡加上12，再用4除，然后減去15，再乘以10，恰好是100歲。”這位老爺爺現(xiàn)在有??????歲．

【答案】88

【解析】

試題分析：可以根據(jù)題意的敘述，可以用逆推法，用100除以10，加上15，乘以4，減去12，即可求出答案。

解：由題意知，

（100÷10+15）×4﹣12，

=（10+15）×4﹣12，

=25×4﹣12，

=100﹣12，

=88（歲），

答：這位老爺爺現(xiàn)在有88歲。

故答案為：88。

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10. 某數(shù)減去2，乘以9，再加上3，最后除以4，結(jié)果等于12。求這個(gè)數(shù)？

【答案】7

【解析】

試題分析：通過讀題我們可以發(fā)現(xiàn)某數(shù)經(jīng)過減去2，乘以9，加上3，除以4，這四步有序的運(yùn)算的結(jié)果等于12，要想求出某數(shù)，我們只需要將其運(yùn)算過程從結(jié)果開始逆向運(yùn)算即可。

解：（12×4－3）÷9＋2

=（48－3）÷9＋2

=45÷9＋2

=5＋2

=7

答：這個(gè)數(shù)是7。

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拓展提高

1.某商場春季優(yōu)惠出售洗衣機(jī)，上午售出了總數(shù)的一半，下午售出剩下的一半后，還剩10臺(tái)。這個(gè)商場原來有洗衣機(jī)多少臺(tái)？

【答案】40

【解析】

解：我們可以根據(jù)題意，畫出線段圖進(jìn)行分析思考。

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結(jié)合上圖，從“下午售出剩下的一半后還剩10臺(tái)”向前倒推，上午售后剩下的一半，那么上午售出后剩下的臺(tái)數(shù)就是10×2＝20臺(tái)；而20臺(tái)又正好是總數(shù)的一半，那么原有洗衣機(jī)的臺(tái)數(shù)就是20×2＝40臺(tái)。

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2.某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。這時(shí)他的存折上還剩1250元。他原有存款多少元？[來源:Z§xx§k.Com]

【答案】

【解析】

解：從上面那個(gè)“重新包裝”的事例中，我們應(yīng)受到啟發(fā)：要想還原，就得反過來做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，從而“余下的一半”是1250+100=1350（元）

余下的錢（余下一半錢的2倍）是：1350×2=2700（元）

用同樣道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。

綜合算式是：[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）

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3.一瓶果汁，第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，這時(shí)瓶中還剩125毫升．這瓶果汁原有多少毫升？

【答案】500毫升

【解析】

試題分析：由“第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，這時(shí)瓶中還剩125毫升”，那么第二次沒喝之前應(yīng)為（125+25）×2=300（毫升）；由“第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，是300毫升”，那么這瓶果汁原有（300-50）×2。

解：[(125+25)×2－50]×2

=[300－50]×2

=250×2

=500（毫升）

答：這瓶果汁原有500毫升。

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4.小紅看一本故事書，第一天看了這本書的一半又10頁，第二天看了余下的一半又10頁，第三天看了10頁正好看完，這本書有多少頁？

【答案】100頁

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)第二天看了余下的一半又10頁，可知：第三天看的10頁是第一天余下的一半少10頁，所以第一天余下的頁數(shù)的一半就是：10+10=20（頁），所以第一天余下的頁數(shù)是20×2=40（頁）；（2）根據(jù)第一天看了這本書的一半又10頁，說明這40頁是這本書的一半少10頁，所以這本書的一半就是40+10=50（頁），所以這本書的頁數(shù)是50×2=100（頁）。

解：根據(jù)題干分析可得：

[（10+10×2+10）]×2

=[40+10]×2

=50×2

=100（頁）

答：這本書有100頁。

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5.有一根電線，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后還剩下6m。問這根電線原來有多少米？

【答案】38米

【解析】

試題分析：由“第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后還剩下6m”可知6米是第二次用去5米后剩余長度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次沒用5米之前是12=5=17米；則第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此這根電線原來長34+4=38（米）。

解：（6×2+5）×2+4

=（12+5×2）+4

=17×2+4

=34+4

=38（米）

答：這根電線原來有38米。

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6.文具柜上的某種筆盒每次賣出一半時(shí)，就從倉庫中調(diào)來15個(gè)補(bǔ)充。到第八次賣出一半后，恰好余下15個(gè)。文具柜原有這種筆盒的個(gè)數(shù)是多少個(gè)？

【答案】30個(gè)

【解析】

試題分析：每次賣出一半余下15個(gè)，就補(bǔ)15個(gè)，這樣不管多少次，始終余15個(gè)，所以原有筆盒的個(gè)數(shù)就是15×2。

解：15×2=3（個(gè)）

答：文具柜原有這種筆盒的個(gè)數(shù)是30個(gè)。

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7.媽媽買回來一些雞蛋，第一天吃了全部的一半又半個(gè)，第二天吃了余下的一半又半個(gè)，第三天吃了第二天余下的一半又半個(gè)。這時(shí)還剩下1個(gè)雞蛋，媽媽一共買回多少個(gè)雞蛋？

【答案】15個(gè)

【解析】

試題分析：根據(jù)最后籃內(nèi)的雞蛋個(gè)數(shù)是1，那第三天吃完后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)是2×（1+0.5），第二天吃完后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)是2×[2×（1+0.5）+0.5]，同樣道理可以求出第一次賣蛋后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)，那原有雞蛋的個(gè)數(shù)即可求出。

解：第二天吃完后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)是：2×（1+0.5）=3（個(gè)），

第一天吃完后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)是：2×（3+0.5）=7（個(gè)），

原有雞蛋的個(gè)數(shù)是：2×（7+0.5）=2×7.5=15（個(gè)），

答：媽媽買回15個(gè)雞蛋。

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8.便民水果店賣芒果，第一次賣掉總數(shù)的一半多2個(gè)，第二次賣掉剩下的一半多1個(gè)，第三次賣掉第二次賣后剩下的一半少1個(gè)，這時(shí)只剩下11個(gè)芒果。求水果店里原來一共有多少個(gè)芒果？

【答案】88個(gè)

【解析】

試題分析：第三次賣掉第二次賣后剩下的一半少1個(gè)，這時(shí)只剩下11個(gè)芒果，那么第二次賣后剩下：（11-1）×2=20（個(gè)）；第二次賣掉剩下的一半多1個(gè)，這是剩下20個(gè)，那么第一次賣后剩下：（20+1）×2=42（個(gè)）；第一次賣掉總數(shù)的一半多2個(gè)，剩下42個(gè)，則總數(shù)為（42+2）×2=88（個(gè)）。

解：{[(11－1)×2+1]×2+2}×2

=[（10×2+1）×2+2]×2

=（21×2+2）×2

=44×2

=88（個(gè)）

答：水果店里原來一共有88個(gè)芒果。

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9.美紅商店出售洗衣機(jī)，上午出售總數(shù)的一半多20臺(tái)，下午售出剩下的一半少20臺(tái)，結(jié)果還剩105臺(tái)，美紅商店原有多少臺(tái)洗衣機(jī)？

【答案】380臺(tái)

【解析】

試題分析：此題抓住剩下的105臺(tái)，往前推算，105臺(tái)再減去20臺(tái)就是上午賣完剩下的一半，據(jù)此乘2，即可得出上午賣完剩下的是85×2=170臺(tái)，170臺(tái)，再加上20臺(tái)，就是這批洗衣機(jī)的一半，據(jù)此乘2，就是洗衣機(jī)的總臺(tái)數(shù)。

解：[（105-20）×2+20]×2

=[85×2+20]×2

=190×2

=380（臺(tái)）

答：美紅商店原有380臺(tái)洗衣機(jī)。

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10.籃子里有一些蘋果，媽媽拿他的一半又一個(gè)給了爺爺，再拿剩余的一半又二個(gè)給了爸爸，又取最后所余的一半又三個(gè)給了女兒，籃子里的蘋果正好拿完。問籃子里原來有蘋果多少個(gè)？

【答案】34個(gè)

【解析】

試題分析：最后的一半又3個(gè)給女兒，說明最后的一半就是3個(gè)，女兒得到6個(gè)蘋果；由“再拿剩余的一半又二個(gè)給了爸爸”，則給爺爺后剩余：（3×2+2）×2=16（個(gè)）；那么總數(shù)為（16+1）×2=34（個(gè)）。

解：[（3×2+2）×2+1]×2

=[8×2+1]×2

=17×2

=34（個(gè)）

答：籃中原有蘋果34個(gè)。

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巔峰突破

1.同學(xué)們玩扔沙袋游戲，甲乙兩班共有140袋沙袋，如果甲班先給乙班5只，乙班又給甲班8只，這時(shí)兩班沙袋相等，兩班原來各有沙袋多少只？

【答案】甲班原有67袋，乙班原有73袋

【解析】

解：通過題中“甲乙兩班共有140只沙袋”和“這時(shí)兩班沙袋相等”這兩個(gè)條件，我們可以知道甲、乙兩班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算：

最后甲、乙兩班各有多少袋：140÷2=70（袋）

甲班原有多少袋70－8＋5=67（袋）

乙班原有多少袋70＋8－5=73（袋）

答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋。

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2.?小明、小強(qiáng)和小勇三個(gè)人共有故事書60本。如果小強(qiáng)向小明借3本后，又借給小勇5本，結(jié)果三個(gè)人有的故事書的本數(shù)正好相等。這三個(gè)人原來各有故事書多少本？

【答案】小勇15本，小強(qiáng)22本，小明23本

【解析】

解：不管這三個(gè)人如何借來借去，故事書的總本數(shù)是60本，根據(jù)結(jié)果三個(gè)人故事書本數(shù)相同，可以求最后三個(gè)人每人都有故事書60÷3=20本。如果小強(qiáng)不借給小勇5本，那么小強(qiáng)有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小強(qiáng)不向小明借3本，那么小強(qiáng)有25－3=22本，小明有20＋3=23本。

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3.?一籃蘋果，取籃中的一半又一個(gè)給第一人，再取余下的一半又一個(gè)給第二人，又去第二人余下的一半又3個(gè)給第三人，籃中蘋果正好分完，問籃中原有蘋果多少個(gè)？

【答案】30個(gè)

【解析】

試題分析：最后的一半又3個(gè)給第三人，說明最后的一半就是3個(gè)，第三人得到6個(gè)蘋果；取余下一半又1個(gè)給第二人，說明第二人所取的余下一半比最后的6個(gè)多1個(gè)，所以第二人得到8個(gè)；第一人取后還剩下14個(gè)蘋果；若干蘋果，取一半又1個(gè)給第一人，剩下14個(gè)，說明這一半是15個(gè)，所以這個(gè)籃子里原來有30個(gè)蘋果。

解：[(3×2+1)×2+1]×2

=[7×2+1]×2

=15×2

=30（個(gè)）

答：籃中原有蘋果30個(gè)。

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4.?一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后連桶重8千克，已知桶重1.5千克，原來桶里有油多少千克？

【答案】52千克

【解析】

試題分析：由題意，倒了三次后連桶重8千克，已知桶重1.5千克，則油重（8-1.5）千克，每次倒掉油的一半，則第三次沒倒前油重（8-1.5）×2，同理第二次沒倒前油重（8-1.5）×2×2，第一次沒倒前油重（8-1.5）×2×2×2。

解：（8-1.5）×2×2×2

=6.5×2×2×2

=52（千克）

答：原來桶里有油52千克。

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5.老婦提籃賣蛋．第一次賣了全部的一半又半個(gè)，第二次賣了余下的一半又半個(gè)，第三次賣了第二次余下的一半又半個(gè)，第四次賣了第三次余下的一半又半個(gè)。這時(shí)，全部雞蛋都賣完了。老婦籃中原有雞蛋多少個(gè)？

【答案】15

【解析】

解：第三次賣蛋后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)是：2×（0+）=1（個(gè)），

?第二次賣蛋后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)是：2×（1+）=2×1=3（個(gè)），

第一次賣蛋后余下的雞蛋的個(gè)數(shù)是：2×（3+）=2×3?=7（個(gè)），

原有雞蛋的個(gè)數(shù)是：2×（7+）=2×7=15（個(gè)），

答：籃中原有雞蛋15個(gè)，

故答案為：15。

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6.?兄弟三人分24個(gè)桔子，每人所得個(gè)數(shù)分別等于他們?nèi)昵案髯缘臍q數(shù)。如果老三先把所得的桔子的一半平分給老大與老二，接著老二把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老三與老大，最后老大把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老二與老三，這時(shí)每人的桔子數(shù)恰好相同。問：兄弟三人的年齡各多少歲？

【答案】16，10，7

【解析】

解：由于總共有24個(gè)桔子，最后三人所得到的桔子數(shù)相等，因此每人最后都有24÷3＝8（個(gè)）桔子。由此列表逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老三原來分別有桔子13，7，4個(gè)，現(xiàn)在的年齡依次為16，10，7歲。

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7.?四只猴子摘了一堆桃子，它們準(zhǔn)備先回去睡一覺后再來分桃子。過了一會(huì)，其中一只猴子來了，它見別的猴子沒來，便把桃子平分成4堆，發(fā)現(xiàn)余下3個(gè)，于是給其中三堆各多分了一個(gè)桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又過一會(huì)兒，另一只猴子來了，它見別的猴子沒來，把桃子也分成4堆，發(fā)現(xiàn)還是多出3個(gè)，于是也給其中三堆各多分了一個(gè)桃子，自己帶著余下的一堆跑掉了；輪到另外兩只猴子時(shí)，分別發(fā)生了同樣的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一個(gè)桃子，那么這堆桃子至少有多少個(gè)？

【答案】259個(gè)

【解析】

試題分析：如果沒有多3個(gè)的話，分了四次，答案應(yīng)是4×4×4×4=256個(gè)，現(xiàn)在多了3個(gè)，所以結(jié)果是256+3=259個(gè)。

解：4×4×4×4+3

=256+3

=259（個(gè)）

答：堆桃子至少有259個(gè)。

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8.?把57個(gè)甜橙分成三袋，當(dāng)?shù)谝淮俜派?個(gè)，第二袋拿去4個(gè)，第三袋減少一半時(shí)，三袋個(gè)數(shù)正好相等。原來三個(gè)袋里各有甜橙多少個(gè)？

【答案】原來三個(gè)袋里各有8個(gè)、19個(gè)、30個(gè)

【解析】

試題分析：第一個(gè)袋子放上7個(gè)，第二個(gè)袋子拿去4的時(shí)候，總的甜橙數(shù)目為57+7-4=60（個(gè)）；這時(shí)3個(gè)袋子的甜橙數(shù)目比=1：1：2，則此時(shí)第一個(gè)袋子甜橙數(shù)為：60×=15（個(gè)），第一個(gè)袋子原有甜橙15-7=8（個(gè)），此時(shí)第二個(gè)袋子甜橙數(shù)為60×=15（個(gè)），第二個(gè)袋子原有甜橙15+4=19（個(gè)），此時(shí)第三個(gè)袋子甜橙數(shù)為60×=30（個(gè)）。所以原來三個(gè)袋子各有甜橙8個(gè)、19個(gè)、30個(gè)。

解：57+7－4=60（個(gè)），60÷（3+1）=15（個(gè)）

原來第一袋：15－7=8（個(gè)）

原來第二袋：15+4=19（個(gè)）

原來第三袋：15×2=30（個(gè)）

答：原來三個(gè)袋里各有甜橙8個(gè)、19個(gè)、30個(gè)。

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9.?有甲、乙、丙三個(gè)油桶，各盛油若干千克。先將甲桶油倒入乙、丙兩桶，使它們各增加原有油的一倍；再將乙桶油倒入丙、甲兩桶，使它們的油各增加一倍；最后按同樣的規(guī)律將丙桶油倒入甲、乙兩桶。這時(shí)，各桶油都是16千克。問：各桶原有油多少千克？

【答案】甲、乙、丙桶原來分別有油26，14，8千克

【解析】

解：列表逆推如下：

原來甲、乙、丙桶分別有油26，14，8千克。

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10.?有一個(gè)財(cái)迷總想使自己的錢成倍增長，一天他在一座橋上碰見一個(gè)老人，老人對(duì)他說：“你只要走過這座橋再回來，你身上的錢就會(huì)增加一倍，但作為報(bào)酬，你每走一個(gè)來回要給我32個(gè)銅板?！必?cái)迷算了算挺合算，就同意了。他走過橋去又走回來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了老人32個(gè)銅板。這樣走完第五個(gè)來回，身上的最后32個(gè)銅板都給了老人，一個(gè)銅板也沒剩下。問：財(cái)迷身上原有多少個(gè)銅板？

【答案】31個(gè)

【解析】

試題分析：第5次以后，財(cái)迷只剩下32個(gè)銅板，相當(dāng)于第5次過橋前手里有16個(gè)；

第4次過橋后給了老人32個(gè)，所以第四層結(jié)束以后手中有48個(gè)，相當(dāng)于第4次過橋前手中有24個(gè)；

第3次過橋后給了老人32個(gè)，所以第3次結(jié)束以后手中有56個(gè)，相當(dāng)于第3次過橋前手中有28個(gè)；[來源:Z|xx|k.Com]

第2次過橋后給了老人32個(gè)，所以第2次結(jié)束以后手中有60個(gè)，相當(dāng)于第2次過橋前手中有30個(gè)；

第1次過橋后給了老人32個(gè)，所以第1次結(jié)束以后手中有62個(gè)，相當(dāng)于第1次過橋前手中有31個(gè)。

解：第五次后有：32÷2=16（個(gè)）

第四次后有：（32+16）÷2=24（個(gè)）

第三次后有：（32+24）÷2=28（個(gè)）

第二次后有：（32+28）÷2=30（個(gè)）

第一次原有：（32+30）÷2=31（個(gè)）

答：財(cái)迷身上原有31個(gè)銅板。

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