七年級(jí)（上）數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)：因式分解
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一、典例分析
1.?
設(shè)?a、b、c、d?是四個(gè)整數(shù)，且使得?m?=?(ab?+?cd?)2??-?1?(a2??+?b2??-?c2??-?d?2?)2?是一個(gè)非零整數(shù)，求證：?m
一定是個(gè)合數(shù)
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2.?證明：對(duì)任何整數(shù) x?和 y?， x5?+?3x4?y?-?5x3?y2?-15x2?y3?+?4xy4?+12?y5?的值不會(huì)等于 33
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3.?求證：
a1 +?(1-?a1 )?a2 +?(1-?a1 )(1-?a2 )?a3 +L+?(1-?a1 )(1-?a2 )L(1-?an-1 )?an
=?1-(1-?a1 )(1-?a2 )L(1-?an-1 )(1-?an )
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4.?已知整數(shù) a、b?滿(mǎn)足6ab?=?9a?-10b?+?303?，求 a+b?的值
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5.??設(shè)?n?是正整數(shù)，求證：?a?(n2??-1)(n2??-?5n?+?26)?能被?120?整除
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6. 若 100a+64 和 201a+64 均為四位數(shù)，且均為完全平方數(shù)，求整數(shù) a 的值
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7.??分解因式：?x4??+?(?x?+?y?)4??+?y4
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8.??分解因式：?(a?+?b)3??+?(b?+?c)3??+?(c?+?a?)3??+?a3??+?b3??+?c3
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9.??分解因式：?(ab?+?cd?)(a2??-?b2??+?c2??-?d?2?)?+?(ac?+?bd?)(a2??+?b2??-?c2??-?d?2?)
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10.??分解因式：?a4??-?b4??+?c4??-?d?4??-?2?(a2c2??-?b2?d?2?)?+?4ac?(b2??+?d?2?)?-?4bd?(a2??+?c2?)
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11.??分解因式：?(1+?x?+?x2??+?x3?)2??-?x3
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12. 分解因式： x15 +?x14 +L+?x2 +?x +1
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13.?一個(gè)自然數(shù) a?恰等于另一個(gè)自然數(shù) b?的立方，則稱(chēng)自然數(shù) a?為完全立方數(shù)，如 27?=?33?，27?就是一個(gè)完全立方數(shù)，若 a =?19951993′199519953?-19951994?′199519923?，求證：a?是一個(gè)完全立方數(shù)
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14.?已 知 乘 法 公 式 ：
a5??+?b5??=?(a?+?b)(a4??-?a3b?+?a2b2??-?ab3??+?b4?) ；
a5??-?b5??=?(a?-?b)(a4??+?a3b?+?a2b2??+?ab3??+?b4?)?，利用或者不利用上述公式，分解因式：x8??+?x6??+?x4??+?x2??+1
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15.?按下面規(guī)律擴(kuò)充新數(shù)：已有 a，b?兩數(shù)，可按規(guī)律 c=ab+a+b?擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)，而 a，b，c?三個(gè)數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)律又可擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)，…每擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)叫做一次操作，現(xiàn)有數(shù) 1?和 4，求：
（1）?按上述規(guī)律操作三次得到擴(kuò)充的最大新數(shù)；
（2）?能否通過(guò)上述規(guī)則擴(kuò)充得到新數(shù) 1999，并說(shuō)明理由.
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16.?設(shè) k，a，b?為正整數(shù)，k?被 a2 ， b2?整除所得的商分別為 m，m+116.
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（1）?若 a，b?互質(zhì)，證明 a2?-?b2?與 a2?， b2?互質(zhì)；
（2）?當(dāng) a，b?互質(zhì)時(shí)，求 k?的值；
（3）?若 a，b?的最大公約數(shù)為 5，求 k?的值.
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18. 求方程 2x2 -?xy -?3x +?y +?2006 =?0 的正整數(shù)解
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二、同步訓(xùn)練
1. 求證：
(?y?+?z?-?2x)3??+?(?z?+?x?-?2?y?)3??+?(?x?+?y?-?2z?)3??=?3(?y?+?z?-?2x)(?z?+?x?-?2?y?)(?x?+?y?-?2z?)
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2.??分解因式：?(1+?y)2??-?2x2?(1+?y2?)?+?x4?(1-?y)2
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3.?設(shè)整數(shù) a、b、a-b?都不是 3?的倍數(shù)，求證： a3?+?b3?是 9?的倍數(shù)
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4.?已知 a?是自然數(shù)，且 a3?+?2a2?-12a?+15?表示質(zhì)數(shù)，求這個(gè)質(zhì)數(shù)
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5.?求方程整數(shù)解： 6xy?+?4x?-?9?y?-?7?=?0
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6.?已知三個(gè)質(zhì)數(shù) m，n，p?的乘積等于這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和的 5?倍，求 m2?+?n2?+?p2
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7.?把多項(xiàng)式 4x4?-?4x3?+?5x2?-?2x?+1?寫(xiě)成一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方式
8.計(jì)算：
19973 -?2 ×19972 -1995
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19973 +19972 -1998
11.分解因式： x5?+?x?-1
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12. 若 a =?19982 +19982 ′19992 +19992 ，求證：a 是個(gè)完全平方數(shù)
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一、
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參考答案
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1、證明略；
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2、證明略；
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3、證明略
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4、a =?9, b =?6 ， a +?b =?15
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5、證明略；
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6、17
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7、2?(?x2??+?xy?+?y2?)2
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8、3(a?+?b?+?c)(a2??+?b2??+?c2?)
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9、(a -?d )(b +?c)(a +?b -?c +?d )(a -?b +?c +?d )
10、(a2??-?2ac?+?c2??+?b2??-?2bd?+?d?2?)(a?+?c?+?b?+?d?)(a?+?c?-?b?-?d?)
11、(1+?x +?x2 )(1+?x +?x2 +?x3 +?x4 )
12、(?x +1)(?x2 +1)(?x4 +1)(?x8 +1)
13、證明略
14、(?x4 +?x3 +?x2 +?x +1)(?x4 -?x3 +?x2 -?x +1)
15、（1）499；（2）不可以
16、（1）證明略；（2）?k?=?176400?；（3）?k?=?4410000
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17、221
12、a?=?(1+1998′1999)2