小升初數(shù)學拓展 32 個知識點

1.?和差倍問題

和差問題和倍問題 差倍問題

已知條件幾個數(shù)的和與差,幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍 已知兩個數(shù)的和,差,倍數(shù)關系

公式?①(和－差)÷2=較小數(shù) 較小數(shù)＋差=較大數(shù) 和－較小數(shù)=較大數(shù)公式②(和＋差)÷2=較大數(shù) 較大數(shù)－差=較小數(shù) 和－較大數(shù)=較小數(shù)

和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 和－小數(shù)=大數(shù) 差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)＋差=大數(shù)

關鍵問題：求出同一條件下的和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)

2.?年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3.?歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量,一般是那個“單一量”,題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示.

關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4.?植樹問題

基本類型：在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹, 兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹,只有一端植樹 封閉曲線上植樹

基本公式 棵數(shù)=段數(shù)＋1

棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)－1 棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)

棵距×段數(shù)=總長

關鍵問題 確定所屬類型,從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系

5.?雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題,就是把假設錯的那部分置換出來； 基本思路：

①假設,即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后,發(fā)生了和題目條件不同的差,找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的,從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{整,消去出現(xiàn)的差. 基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關鍵問題：找出總量的差與單位量的差.

6.?盈虧問題

基本概念：一定量的對象,按照某種標準分組,產生一種結果：按照另一種標準分組,又產生一種結果,由于分組的標準不同,造成結果的差異,由它們的關系求對象分組的組數(shù)或對象的總量．

基本思路：先將兩種分配方案進行比較,分析由于標準的差異造成結果的變化,根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù),然后根據(jù)題意求出對象的總量．

基本題型：

①一次有余數(shù),另一次不足；

基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

②當兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

③當兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的.

關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù).

7.?牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份,根據(jù)兩次不同的吃法,求出其中的總草量的差； 再找出造成這種差異的原因,即可確定草的生長速度和總草量.

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的； 關鍵問題：確定兩個不變的量.

基本公式：

生長量=（較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間-短時間）； 總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量；

8.?周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中,某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn). 周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期.

關鍵問題：確定循環(huán)周期. 閏 年：一年有 366 天；

①年份能被 4 整除；②如果年份能被 100 整除,則年份必須能被 400 整除； 平 年：一年有 365 天.

①年份不能被 4 整除；②如果年份能被 100 整除,但不能被 400 整除；

9.?平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù) 數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

②平均數(shù)=基準數(shù)＋每一個數(shù)與基準數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù),利用基本公式①進行計算.

②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系,確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準,求所有給出與基準數(shù)的差；再求出所有差的和； 再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和,就是所求的平均數(shù),具體關系見基本公式②.

10.?抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n 個抽屜里,那么必有一個抽屜中至少放有 2 個物體.

例：把 4 個物體放在 3 個抽屜里,也就是把 4 分解成三個整數(shù)的和,那么就有以下四種情況：

①4=4+0+0②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式,我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有 2 個或多

于 2 個物體,也就是說必有一個抽屜中至少放有 2 個物體.

抽屜原則二：如果把n 個物體放在m 個抽屜里,其中n>m,那么必有一個抽屜至少有:

①k=[n/m]+1 個物體：當n 不能被m 整除時.

②k=n/m 個物體：當n 能被m 整除時.

理解知識點：[X]表示不超過X 的最大整數(shù). 例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關鍵問題：構造物體和抽屜.也就是找到代表物體和抽屜的量,而后依據(jù)抽屜原則進行運算.

12．數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中,任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的,這樣的一列數(shù),就叫做等差數(shù)列. 基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù),一般用a1 表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù),一般用n?表示； 公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差,一般用d?表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式,一般用an 表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和,一般用Sn 表示．

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可求出第四個；求和公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可以求這第四個. 13．定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號,這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算.

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則,把已知的數(shù)代入,轉化為加減乘除的運算,然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算.

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義.

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律,特別注意運算順序.

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用.

14.?數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中,任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的,這樣的一列數(shù),就叫做等差數(shù)列. 基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù),一般用a1 表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù),一般用n?表示； 公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差,一般用d?表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式,一般用an 表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和,一般用Sn 表示．

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可求出第四個；求和公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可以求這第四個. 基本公式：通項公式：an = a1+（n－1）d；

通項＝首項＋（項數(shù)一 1)?公差； 數(shù)列和公式：sn,=(a1+?an)n2； 數(shù)列和＝（首項＋末項）項數(shù) 2； 項數(shù)公式：n=(an+ a1)d＋1； 項數(shù)=（末項-首項）公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））（n－1）； 公差=（末項－首項）（項數(shù)－1）；

關鍵問題：確定已知量和未知量,確定使用的公式；

15.?二進制及其應用

十進制：用 0～9 十個數(shù)字表示,逢 10 進 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義,十位上的2 表示 20,百位上的 2 表示 200.所以 234=200+30+4=2102+310+4.

=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A 2101+A1100

注意：N0=１；N１=N（其中N 是任意自然數(shù)）

二進制：用 0～1 兩個數(shù)字表示,逢 2 進 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義.

（2）=

An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+……+A322+A221+A120

注意：An 不是 0 就是 1.

十進制化成二進制：

①根據(jù)二進制滿 2 進 1 的特點,用 2 連續(xù)去除這個數(shù),直到商為 0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可.

②先找出不大于該數(shù)的 2 的n 次方,再求它們的差,再找不大于這個差的 2 的n 次方,依此方法一直找到差為 0,按照二進制展開式特點即可寫出

16.?加法乘法原理和幾何計數(shù)

加法原理：如果完成一件任務有?n?類方法,在第一類方法中有m1?種不同方法,在第二類方法中有m2?種不同方法……,在第n?類方法中有mn?種不同方法,那么完成這件任務共有： m1+?m2 +mn?種不同的方法.

關鍵問題：確定工作的分類方法.

基本特征：每一種方法都可完成任務.

乘法原理：如果完成一件任務需要分成?n?個步驟進行,做第?1?步有m1?種方法,不管第?1?步用哪一種方法,第?2?步總有m2?種方法……不管前面n-1?步用哪種方法,第n?步總有mn?種方法,那么完成這件任務共有：m1×m2 ×mn?種不同的方法.

關鍵問題：確定工作的完成步驟.

基本特征：每一步只能完成任務的一部分.

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動,形成的軌跡. 直線特點：沒有端點,沒有長度.

線段：直線上任意兩點間的距離.這兩點叫端點. 線段特點：有兩個端點,有長度.

射線：把直線的一端無限延長.

射線特點：只有一個端點；沒有長度.

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點數(shù)一 1）；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一 1）；

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)

17.?質數(shù)與合數(shù)

質數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外,沒有別的約數(shù),這個數(shù)叫做質數(shù),也叫做素數(shù).

合數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外,還有別的約數(shù),這個數(shù)叫做合數(shù).

質因數(shù)：如果某個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù),那么這個質數(shù)叫做這個數(shù)的質因數(shù).

分解質因數(shù)：把一個數(shù)用質數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質因數(shù).通常用短除法分解質因數(shù).任何一個合數(shù)分解質因數(shù)的結果是唯一的.

分解質因數(shù)的標準表示形式：N=,其中a1、a2、a3……an 都是合數(shù)N 的質因數(shù),且

a1

求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互質數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1,這兩個數(shù)叫做互質數(shù). 18．約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a 能夠被 b 整除,a 叫做b 的倍數(shù),b 就叫做 a 的約數(shù).

公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個,叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù).

最大公約數(shù)的性質：

1?幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù),所得的幾個商是互質數(shù).

2?幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù).

3?幾個數(shù)的公約數(shù),都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù).

4?幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m.

例如：12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12； 18 的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

那么 12 和 18 的公約數(shù)有：1、2、3、6；

那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是：6,記作（12,18）=6； 求最大公約數(shù)基本方法：

1?分解質因數(shù)法：先分解質因數(shù),然后把相同的因數(shù)連乘起來.

2?短除法：先找公有的約數(shù),然后相乘.

3?輾轉相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除,能夠整除的那個余數(shù),就是所求的最大公約數(shù). 公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個,叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù).

12?的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

18?的倍數(shù)有：18、36、54、72……；

那么 12 和 18 的公倍數(shù)有：36、72、108……；

那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36,記作[12,18]=36； 最小公倍數(shù)的性質：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積.

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質因數(shù)的方法

19．數(shù)的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù) a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù),那么叫做a

能被b 整除或b 能整除a,記作b|a.

2、常用符號：整除符號“|”,不能整除符號“”；因為符號“∵”,所以的符號“∴”； 二、整除判斷方法：

1.?能被 2、5?整除：末位上的數(shù)字能被 2、5?整除.

2.?能被 4、25?整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、25?整除.

3.?能被 8、125?整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 8、125?整除.

4.?能被 3、9?整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被 3、9?整除.

5.?能被 7?整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被 7 整除.

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 2 倍后能被 7 整除.

6.?能被 11?整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 11 整除.

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被 11 整除.

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被 11 整除.

7.?能被 13?整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 13 整除.

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 9 倍后能被 13 整除.

三、整除的性質：

1.?如果a、b?能被c?整除,那么（a+b）與（a-b）也能被c?整除.

2.?如果a?能被b?整除,c?是整數(shù),那么a?乘以c?也能被b?整除.

3.?如果a?能被b?整除,b?又能被c?整除,那么a?也能被c?整除.

4.?如果a?能被b、c?整除,那么a?也能被b?和c?的最小公倍數(shù)整除.

20.?余數(shù)及其應用

基本概念：對任意自然數(shù) a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且 0那么r 叫做a 除以

b 的余數(shù),q 叫做a 除以b 的不完全商. 余數(shù)的性質：

①余數(shù)小于除數(shù).

②若a、b 除以c 的余數(shù)相同,則c|a-b 或c|b-a.

③a 與b 的和除以c 的余數(shù)等于a 除以c 的余數(shù)加上b 除以c 的余數(shù)的和除以c 的余數(shù).

④a 與b 的積除以c 的余數(shù)等于a 除以c 的余數(shù)與b 除以c 的余數(shù)的積除以c 的余數(shù).

21.?余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：

①若兩個整數(shù)a、b 除以m 的余數(shù)相同,則稱a、b 對于模m 同余.

②已知三個整數(shù)a、b、m,如果 m|a-b,就稱a、b 對于模m 同余,記作a≡b(mod m),讀作a

同余于b 模m.

二、同余的性質：

①自身性：a≡a(mod m)；

②對稱性：若a≡b(mod m),則b≡a(mod m)；

③傳遞性：若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m)

④和差性：若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m),則an≡bn(modm)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數(shù)c,則a×c≡ b×c(mod m×c)； 三、關于乘方的預備知識：

①若A=a×b,則MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d 則MB=Mc+d=Mc×Md

四、被 3、9、11 除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n 表示M 的各個數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一個自然數(shù)M,X?表示M?的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和,Y?表示M?的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和, 則M≡Y-X?或M≡11-（X-Y）(mod?11)；

五、費爾馬小定理：如果 p 是質數(shù)（素數(shù)）,a 是自然數(shù),且a 不能被p 整除,則ap-1≡1(mod p).

22.?分數(shù)與百分數(shù)的應用

基本概念與性質：

分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數(shù).

分數(shù)的性質：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0 除外）,分數(shù)的大小不變. 分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份,表示這樣一份的數(shù).

百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù). 常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考.

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系.

③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答.最常見的是轉換成比例和轉換成倍數(shù)關系；把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率.常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量.

④假設思維方法：為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立,計算出相應的結果,然后再進行調整,求出最后結果.

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中,總有一個量是不變的,不論其他量如何變化,而這個量是始終固定不變的.有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化,總量不變.B、總量發(fā)生變化, 但其中有的分量不變.C、總量和分量都發(fā)生變化,但分量之間的差量不變化.

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量,從而使數(shù)量關系單一化、量率關系明朗化.

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理.

⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況.

23.?分數(shù)大小的比較基本方法：

①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同,根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較.

②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同,根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較.

③基準數(shù)法：確定一個標準,使所有的分數(shù)都和它進行比較.

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時,分子或分母越大的分數(shù)值越大.

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小,除了運用以上方法外,可以用同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小.（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉化比較方法：把所有分數(shù)轉化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較.

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù),結果得數(shù)和 1?進行比較.

⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù),得出的數(shù)和 0?比較.

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小,然后確定原數(shù)的大小.

⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù),每一個數(shù)與基準數(shù)比較.

24.?分數(shù)拆分

一、 將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：

① =+；

②=+（d 為自然數(shù)）；

25.?完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：

1.?末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立.

2.?除以 3?余 0?或余 1；反之不成立.

3.?除以 4?余 0?或余 1；反之不成立.

4.?約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立.

5.?奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立.

6.?奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù).

7.?兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù). 平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2 26．比和比例

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比.比號前面的數(shù)叫比的前項,比號后面的數(shù)叫比的后項. 比值：比的前項除以后項的商,叫做比值.

比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外）,比值不變. 比例：表示兩個比相等的式子叫做比例.a:b=c:d 或

比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積(交叉相乘),ad=bc.

正比例：若A 擴大或縮小幾倍,B 也擴大或縮小幾倍（AB 的商不變時）,則A 與B 成正比. 反比例：若A 擴大或縮小幾倍,B 也縮小或擴大幾倍（AB 的積不變時）,則A 與B 成反比. 比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺.

按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份,叫按比例分配.

27.?綜合行程

基本概念：行程問題是研究物體運動的,它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.

基本公式：路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向.

相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式） 追及問題：追及時間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=（船速+水速）×順水時間逆水行程=（船速-水速）×逆水時間

順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2 水 速=（順水速度-逆水速度）÷2

流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度,參照以上公式.

過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程,參照以上公式. 主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量,求第三個量.

28.?工程問題基本公式：

①工作總量=工作效率×工作時間

②工作效率=工作總量÷工作時間

③工作時間=工作總量÷工作效率基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

②假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)）,利用上述三個基本關系,可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系. 經(jīng)驗簡評：合久必分,分久必合.

29.?邏輯推理基本方法簡介：

①條件分析—假設法：假設可能情況中的一種成立,然后按照這個假設去判斷,如果有與題設條件矛盾的情況,說明該假設情況是不成立的,那么與他的相反情況是成立的.例如,假設a?是偶數(shù)成立,在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾,那么a 一定是奇數(shù).

②條件分析—列表法：當題設條件比較多,需要多次假設才能完成時,就需要進行列表來輔助分析.列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中,表格的行、列分別表示不同的對象與情況,觀察表格內的題設情況,運用邏輯規(guī)律進行判斷.

③條件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時,就可用連線表示兩個對象之間的關系,有連線則表示“是,有”等肯定的狀態(tài),沒有連線則表示否定的狀態(tài).例如A?和B?兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài),有連線表示認識,沒有表示不認識.

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外,還要進行相應的計算,根據(jù)計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件.

⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù),分析其中存在的規(guī)律和方法,并從特殊情況推廣到一般情況,并遞推出相關的關系式,從而得到問題的解決.

30.?幾何面積基本思路：

在一些面積的計算上,不能直接運用公式的情況下,一般需要對圖形進行割補,平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等,使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律.

常用方法：